Номер 6.37, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.37. Является ли последовательность возрастающей (убывающей):

1) $a_n = -9n^2 + 10n + 25$;

2) $b_n = n^2 + 2n - 3$;

3) $u_n = 3^n - 2^n$;

4) $c_n = \frac{n}{n^2 + 1}$;

5) $x_n = \frac{3n + 4}{n + 2}$;

6) $y_n = \frac{2n + 9}{n + 3}$?

Для определения характера монотонности последовательности (является ли она возрастающей или убывающей), необходимо исследовать знак разности $a_{n+1} - a_n$ для $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 1$).

• Если $a_{n+1} - a_n > 0$ для всех $n$, последовательность является возрастающей.
• Если $a_{n+1} - a_n < 0$ для всех $n$, последовательность является убывающей.
• Если знак разности меняется, последовательность не является монотонной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -9(n+1)^2 + 10(n+1) + 25 = -9(n^2 + 2n + 1) + 10n + 10 + 25 = -9n^2 - 18n - 9 + 10n + 35 = -9n^2 - 8n + 26$.

Теперь рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (-9n^2 - 8n + 26) - (-9n^2 + 10n + 25) = -9n^2 - 8n + 26 + 9n^2 - 10n - 25 = -18n + 1$.

Так как $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$, то $-18n \le -18$, и, следовательно, $-18n + 1 \le -17$.

Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 < 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность является убывающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$b_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 3 = (n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 - 3 = n^2 + 4n$.

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = n^2 + 4n - n^2 - 2n + 3 = 2n + 3$.

Так как $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и $2n + 3 \ge 5$.

Поскольку разность $b_{n+1} - b_n = 2n + 3 > 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$u_{n+1} = 3^{n+1} - 2^{n+1} = 3 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n$.

Рассмотрим разность $u_{n+1} - u_n$:

$u_{n+1} - u_n = (3 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n) - (3^n - 2^n) = 3 \cdot 3^n - 3^n - 2 \cdot 2^n + 2^n = 2 \cdot 3^n - 2^n$.

Чтобы определить знак этого выражения, вынесем $2^n$ за скобки: $2^n(2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1)$.

Так как $n \ge 1$, то $\frac{3}{2} \ge 1.5$, и $(\frac{3}{2})^n \ge \frac{3}{2}$.

Следовательно, $2 \cdot (\frac{3}{2})^n \ge 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Тогда $2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1 \ge 3 - 1 = 2 > 0$.

Поскольку $2^n > 0$ и $2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1 > 0$, их произведение также положительно. Таким образом, $u_{n+1} - u_n > 0$ для всех натуральных $n$.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$c_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}$.

Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:

$c_{n+1} - c_n = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}$.

Знаменатель дроби всегда положителен при $n \ge 1$. Исследуем знак числителя:

$(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2) = (n^3 + n + n^2 + 1) - (n^3 + 2n^2 + 2n) = n^3 + n^2 + n + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n = -n^2 - n + 1 = -(n^2 + n - 1)$.

Для $n \ge 1$, $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$. Тогда $n^2 + n \ge 2$, и $n^2 + n - 1 \ge 1 > 0$.

Таким образом, числитель $-(n^2 + n - 1)$ отрицателен для всех натуральных $n$.

Поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то $c_{n+1} - c_n < 0$.

Ответ: последовательность является убывающей.

Преобразуем общий член последовательности, выделив целую часть:

$x_n = \frac{3(n+2) - 6 + 4}{n+2} = \frac{3(n+2) - 2}{n+2} = 3 - \frac{2}{n+2}$.

Тогда $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3 - \frac{2}{(n+1)+2} = 3 - \frac{2}{n+3}$.

Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \left(3 - \frac{2}{n+3}\right) - \left(3 - \frac{2}{n+2}\right) = \frac{2}{n+2} - \frac{2}{n+3} = 2\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$.

$x_{n+1} - x_n = 2\left(\frac{(n+3) - (n+2)}{(n+2)(n+3)}\right) = \frac{2}{(n+2)(n+3)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+2)(n+3)$ является произведением положительных чисел и, следовательно, положителен. Вся дробь положительна.

Поскольку $x_{n+1} - x_n > 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Преобразуем общий член последовательности, выделив целую часть:

$y_n = \frac{2(n+3) - 6 + 9}{n+3} = \frac{2(n+3) + 3}{n+3} = 2 + \frac{3}{n+3}$.

Тогда $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 2 + \frac{3}{(n+1)+3} = 2 + \frac{3}{n+4}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \left(2 + \frac{3}{n+4}\right) - \left(2 + \frac{3}{n+3}\right) = \frac{3}{n+4} - \frac{3}{n+3} = 3\left(\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+3}\right)$.

$y_{n+1} - y_n = 3\left(\frac{(n+3) - (n+4)}{(n+4)(n+3)}\right) = 3\left(\frac{-1}{(n+4)(n+3)}\right) = \frac{-3}{(n+4)(n+3)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+4)(n+3)$ положителен. Числитель -3 отрицателен, поэтому вся дробь отрицательна.

Поскольку $y_{n+1} - y_n < 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность является убывающей.