Номер 6.43, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.43. При каких значениях a и b последовательность $y_n = \frac{an + 2}{bn + 1}$ является:

1) возрастающей;

2) убывающей;

3) неубывающей;

4) невозрастающей?

Для определения характера монотонности последовательности $y_n = \frac{an+2}{bn+1}$, найдем разность между последующим и предыдущим членами: $y_{n+1} - y_n$.

$y_{n+1} = \frac{a(n+1)+2}{b(n+1)+1} = \frac{an+a+2}{bn+b+1}$

$y_{n+1} - y_n = \frac{an+a+2}{bn+b+1} - \frac{an+2}{bn+1} = \frac{(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1)}{(bn+b+1)(bn+1)}$

Вычислим числитель этой дроби:

$(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1) = (abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2) - (abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2) = a - 2b$

Таким образом, разность имеет вид:

$y_{n+1} - y_n = \frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)}$

Последовательность $y_n$ определена для всех натуральных $n \ge 1$, если ее знаменатель $bn+1 \neq 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это означает, что $-1/b$ не должно быть натуральным числом. Это условие можно записать как $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Монотонность последовательности зависит от знака разности $y_{n+1} - y_n$. Чтобы последовательность была монотонной, этот знак должен быть постоянным для всех $n \ge 1$. Это возможно, если числитель $a-2b$ не равен нулю и знак знаменателя $D(n) = (bn+1)(b(n+1)+1)$ постоянен, либо если числитель равен нулю, что делает всю разность нулевой.

Исследуем знак знаменателя $D(n)$:

• Если $b=0$, то $D(n) = (1)(1) = 1 > 0$.
• Если $b>0$, то $bn+1 > 1$ и $b(n+1)+1 > 1$ для всех $n \ge 1$, следовательно $D(n) > 0$.
• Если $b<0$, то $bn+1$ — убывающая функция. Чтобы знак $D(n)$ был постоянным, нули сомножителей ($n=-1/b$ и $n=-1/b-1$) должны находиться вне интервала $[1, \infty)$. Так как $-1/b > 0$, это требует, чтобы $-1/b < 1$, что равносильно $b < -1$. В этом случае оба сомножителя $bn+1$ и $b(n+1)+1$ отрицательны для всех $n \ge 1$, а их произведение $D(n)$ положительно.
• Если $-1 \le b < 0$ (и $b \notin \{-1, -1/2, ...\}$), знак $D(n)$ меняется, и последовательность не может быть строго монотонной.

Итак, для строгой монотонности необходимо, чтобы $b \ge 0$ или $b < -1$. В этих случаях знаменатель $D(n)$ всегда положителен.

1) возрастающей

Последовательность является возрастающей, если $y_{n+1} > y_n$ для всех $n \ge 1$. Это эквивалентно неравенству $\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} > 0$.

Так как знаменатель положителен при $b \ge 0$ или $b < -1$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был строго положителен: $a-2b > 0$, то есть $a > 2b$.

Ответ: ($a > 2b$ и $b \ge 0$) или ($a > 2b$ и $b < -1$).

2) убывающей

Последовательность является убывающей, если $y_{n+1} < y_n$ для всех $n \ge 1$. Это эквивалентно неравенству $\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} < 0$.

При условии, что знаменатель положителен ($b \ge 0$ или $b < -1$), неравенство выполняется, если числитель строго отрицателен: $a-2b < 0$, то есть $a < 2b$.

Ответ: ($a < 2b$ и $b \ge 0$) или ($a < 2b$ и $b < -1$).

3) неубывающей

Последовательность является неубывающей, если $y_{n+1} \ge y_n$ для всех $n \ge 1$. Это возможно в двух случаях.

1. Последовательность строго возрастающая. Условия для этого были найдены в пункте 1): $a > 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$).

2. Последовательность постоянна, то есть $y_{n+1} = y_n$. Это происходит, если $a-2b=0$, то есть $a=2b$. В этом случае $y_n = \frac{2bn+2}{bn+1} = 2$, при условии, что последовательность определена для всех $n$, то есть $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Объединяя эти два случая, получаем итоговые условия.

Ответ: ($a > 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$)) или ($a = 2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$).

4) невозрастающей

Последовательность является невозрастающей, если $y_{n+1} \le y_n$ для всех $n \ge 1$. Это возможно в двух случаях.

1. Последовательность строго убывающая. Условия для этого были найдены в пункте 2): $a < 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$).

2. Последовательность постоянна. Условия для этого те же, что и в пункте 3): $a=2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Объединяя эти два случая, получаем итоговые условия.

Ответ: ($a < 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$)) или ($a = 2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$).