Номер 6.47, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.47 При каких значениях $n$ члены последовательности $u_n = |n^2 - 2n - 3|$ удовлетворяют неравенству $u_n \le 2$?

По условию задачи, необходимо найти все натуральные значения $n$ ($n \in \mathbb{N}$), при которых члены последовательности $u_n = |n^2 - 2n - 3|$ удовлетворяют неравенству $u_n \le 2$.

Запишем исходное неравенство: $|n^2 - 2n - 3| \le 2$

Неравенство вида $|x| \le a$ (при $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$. Применив это правило, получаем: $-2 \le n^2 - 2n - 3 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $\begin{cases} n^2 - 2n - 3 \ge -2 \\ n^2 - 2n - 3 \le 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. Решим первое неравенство: $n^2 - 2n - 3 \ge -2$ $n^2 - 2n - 1 \ge 0$ Для этого найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 2n - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Парабола $y = n^2 - 2n - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 - 2n - 1 \ge 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями: $n \le 1 - \sqrt{2}$ или $n \ge 1 + \sqrt{2}$.

2. Решим второе неравенство: $n^2 - 2n - 3 \le 2$ $n^2 - 2n - 5 \le 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 2n - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. Корни уравнения: $n_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$. Парабола $y = n^2 - 2n - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 - 2n - 5 \le 0$ выполняется, когда $n$ находится между корнями: $1 - \sqrt{6} \le n \le 1 + \sqrt{6}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть найти значения $n$, удовлетворяющие обоим условиям: $(\left(n \le 1 - \sqrt{2}\right) \lor \left(n \ge 1 + \sqrt{2}\right)) \land (1 - \sqrt{6} \le n \le 1 + \sqrt{6})$ Решением этой системы является объединение двух промежутков: $[1 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{6}]$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ должно быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Оценим границы полученных промежутков: $\sqrt{2} \approx 1.414$ $\sqrt{6} \approx 2.449$ Тогда: $1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.449 = -1.449$ $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$ $1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$ $1 + \sqrt{6} \approx 1 + 2.449 = 3.449$

Таким образом, решение для $n$ принадлежит множеству $[-1.449; -0.414] \cup [2.414; 3.449]$. Выберем из этих промежутков натуральные числа. В промежутке $[-1.449; -0.414]$ нет натуральных чисел. В промежутке $[2.414; 3.449]$ есть единственное натуральное число $n=3$.

Сделаем проверку для $n=3$: $u_3 = |3^2 - 2 \cdot 3 - 3| = |9 - 6 - 3| = |0| = 0$. $0 \le 2$ — неравенство выполняется.

Ответ: 3.