Номер 6.54, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.54. 1) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n});$

2) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2+2n-1});$

3) $\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2n^2+n+1}-\sqrt{3n^2+2n-1}}{\sqrt{n^2-1+2n}};$

4) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+2n+2}-\sqrt{n^2-4n-1}).$

1) Исходный предел представляет собой неопределенность вида $∞ - ∞$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему: $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$.
$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в числителе, получаем:
$\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$
При $n \to \infty$ знаменатель $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ стремится к бесконечности. Следовательно, предел равен нулю.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\infty} = 0$
Ответ: $0$

2) Данный предел является неопределенностью вида $∞ - ∞$. Умножим и разделим выражение на сопряженное: $\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1}$.
$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+3n+1} - \sqrt{n^2+2n-1}) = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2+3n+1} - \sqrt{n^2+2n-1})(\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1})}{\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1}}$
Упростим числитель по формуле разности квадратов:
$\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+3n+1) - (n^2+2n-1)}{\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1}}$
Получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n$.
$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n+2}{n}}{\frac{\sqrt{n^2+3n+1} + \sqrt{n^2+2n-1}}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{n^2+3n+1}{n^2}} + \sqrt{\frac{n^2+2n-1}{n^2}}}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{1+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}}$
Так как при $n \to \infty$ члены $\frac{k}{n}$ и $\frac{k}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем:
$\frac{1+0}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1+0-0}} = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) В данном пределе мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на $n$.
$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2n^2+n+1} - \sqrt{3n^2+2n-1}}{\sqrt{n^2-1}+2n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\sqrt{2n^2+n+1} - \sqrt{3n^2+2n-1}}{n}}{\frac{\sqrt{n^2-1}+2n}{n}}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{\frac{2n^2+n+1}{n^2}} - \sqrt{\frac{3n^2+2n-1}{n^2}}}{\sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}} + \frac{2n}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}} - \sqrt{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}}{\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+2}$
При $n \to \infty$ все слагаемые вида $\frac{k}{n}$ и $\frac{k}{n^2}$ стремятся к нулю.
$\frac{\sqrt{2+0+0} - \sqrt{3+0-0}}{\sqrt{1-0}+2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{3}$

4) Этот предел представляет собой неопределенность вида $∞ - ∞$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное: $\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}$.
$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2+2n+2} - \sqrt{n^2-4n-1}) = \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2+2n+2} - \sqrt{n^2-4n-1})(\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1})}{\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}}$
Раскроем скобки в числителе по формуле разности квадратов:
$\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+2n+2) - (n^2-4n-1)}{\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2+2n+2-n^2+4n+1}{\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}}$
$= \lim_{n\to\infty} \frac{6n+3}{\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}}$
Мы получили неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $n$:
$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{6n+3}{n}}{\frac{\sqrt{n^2+2n+2} + \sqrt{n^2-4n-1}}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{6+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}} + \sqrt{1-\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}}}$
При $n \to \infty$ члены, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю.
$\frac{6+0}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1-0-0}} = \frac{6}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{6}{2} = 3$
Ответ: $3$