Номер 6.60, страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.60. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$

2) $\frac{x-1}{x+2} > \frac{2x-3}{4x+3}$

1) Решим неравенство $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+3)(x+2)$:

$ \frac{1 \cdot (x+3)(x+2) + 2 \cdot (x+1)(x+2) - 3 \cdot (x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{(x^2+5x+6) + 2(x^2+3x+2) - 3(x^2+4x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(x^2+2x^2-3x^2) + (5x+6x-12x) + (6+4-9)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{0 \cdot x^2 - x + 1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{1-x}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Чтобы коэффициент при $x$ в числителе был положительным, умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1, x=-1, x=-2, x=-3$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале.

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (знак «–»): $(-3; -2)$ и $(-1; 1)$. Эти интервалы удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-1; 1)$.

2) Решим неравенство $ \frac{x-1}{x+2} > \frac{2x-3}{4x+3} $.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$4x+3 \neq 0 \implies x \neq -3/4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{2x-3}{4x+3} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(4x+3)$:

$ \frac{(x-1)(4x+3) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x+3)} > 0 $

Упростим числитель:

$ (4x^2+3x-4x-3) - (2x^2+4x-3x-6) = (4x^2-x-3) - (2x^2+x-6) $

$ = 4x^2-x-3 - 2x^2-x+6 = 2x^2-2x+3 $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x^2-2x+3}{(x+2)(4x+3)} > 0 $

Рассмотрим числитель $2x^2-2x+3$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20 $

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, то квадратный трехчлен $2x^2-2x+3$ всегда положителен при любом значении $x$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$ (x+2)(4x+3) > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x=-2$ и $x=-3/4$.

Выбираем интервалы, где выражение положительно (знак «+»): $(-\infty; -2)$ и $(-3/4; +\infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-3/4; +\infty)$.