Номер 6.53, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.53. 1) $lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n-1}{n^2}\right);$

2) $lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}\right);$

3) $lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n-1}}\right);$

4) $lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{n(n+1)}\right).$

1) Выражение в скобках представляет собой сумму, которую можно упростить. Вынесем общий знаменатель $n^2$ за скобки:$S_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + ... + \frac{n-1}{n^2} = \frac{1+2+...+(n-1)}{n^2}$.В числителе находится сумма первых $(n-1)$ членов арифметической прогрессии. Формула суммы первых $k$ натуральных чисел: $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$. Для $k=n-1$ получаем:$1+2+...+(n-1) = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$.Подставим это выражение обратно в предел:$ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n(n-1)}{2n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n}{2n^2} $.Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n^2$:$ \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1-\frac{1}{n}}{2} = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2} $.Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Выражение в скобках представляет собой сумму первых $(n+1)$ членов геометрической прогрессии. Первый член прогрессии $b_1 = 1$, а знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.Поскольку $|q| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей. Предел суммы ее членов при $n \to \infty$ равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.Подставим наши значения:$ S = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $.Таким образом, искомый предел равен 2.Ответ: $2$

3) Выражение в скобках является суммой $n$ членов геометрической прогрессии.Первый член $b_1 = 1$. Найдем знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/3}{1} = -\frac{1}{3}$.Проверим общий член. Последний член в сумме $ \frac{(-1)^{n+1}}{3^{n-1}} $ можно переписать как $ \frac{(-1)^{n-1}(-1)^2}{3^{n-1}} = \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n-1}} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} $, что соответствует $n$-му члену прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.Так как $|q|=|-\frac{1}{3}| < 1$, мы ищем предел суммы, который равен сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.$ S = \frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} $.Ответ: $\frac{3}{4}$

4) Данный предел является пределом частичной суммы ряда. Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$. Его можно представить в виде разности двух дробей (метод неопределенных коэффициентов или просто подбор):$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $.Теперь запишем сумму в скобках, используя это разложение для каждого слагаемого:$ S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $.Это так называемая телескопическая сумма. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2}$ с $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ с $+\frac{1}{3}$ и так далее до $-\frac{1}{n}$ с $+\frac{1}{n}$. В результате от всей суммы остаются только первый и последний члены:$ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} $.Теперь найдем предел этой суммы при $n \to \infty$:$ \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) $.Поскольку при $n \to \infty$, выражение $\frac{1}{n+1} \to 0$, получаем:$ \lim_{n\to\infty} S_n = 1 - 0 = 1 $.Ответ: $1$