Номер 6.52, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.52. 1) $lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n - 1}{3n + 1} - \frac{2n^2 + 3}{3n^2 - 1} \right);$

2) $lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^3 + 5n^2 - 1}{3n^3 - 2n^2} - \frac{3 + 5n}{3n - 1} \right);$

3) $lim_{n \to \infty} \left( \frac{(-1)^n n}{5n^2 + 2} \cdot \frac{n^2}{2n^2 + n - 1} \right);$

4) $lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n}{5n - 1} \cdot \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 4n - 1} \right).$

1) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n-1}{3n+1} - \frac{2n^2+3}{3n^2-1} \right)$ воспользуемся свойством предела разности, которое гласит, что предел разности равен разности пределов (если они существуют): $\lim_{n \to \infty}(a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n$.

Сначала найдем предел первого слагаемого. Для этого разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n}} = \frac{2-0}{3+0} = \frac{2}{3}$.

Теперь найдем предел второго слагаемого. Разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $n$, то есть на $n^2$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+3}{3n^2-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{3}{n^2}}{\frac{3n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{3}{n^2}}{3-\frac{1}{n^2}} = \frac{2+0}{3-0} = \frac{2}{3}$.

Теперь вычтем второй предел из первого, чтобы найти искомый предел:

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$.

Ответ: $0$.

2) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^3+5n^2-1}{3n^3-2n^2} - \frac{3+5n}{3n-1} \right)$ также воспользуемся свойством предела разности.

Найдем предел первого слагаемого, разделив числитель и знаменатель на $n^3$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+5n^2-1}{3n^3-2n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{5n^2}{n^3}-\frac{1}{n^3}}{\frac{3n^3}{n^3}-\frac{2n^2}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^3}}{3-\frac{2}{n}} = \frac{2+0-0}{3-0} = \frac{2}{3}$.

Найдем предел второго слагаемого, разделив числитель и знаменатель на $n$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{3+5n}{3n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}+\frac{5n}{n}}{\frac{3n}{n}-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}+5}{3-\frac{1}{n}} = \frac{0+5}{3-0} = \frac{5}{3}$.

Теперь найдем разность пределов:

$\frac{2}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$.

Ответ: $-1$.

3) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{(-1)^n n}{5n^2+2} \cdot \frac{n^2}{2n^2+n-1} \right)$ воспользуемся свойством предела произведения: $\lim_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$.

Найдем предел первого множителя: $\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n n}{5n^2+2}$. Так как последовательность содержит множитель $(-1)^n$, она является знакочередующейся. Рассмотрим предел ее модуля:

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^n n}{5n^2+2} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n^2+2}$.

Степень знаменателя ($2$) больше степени числителя ($1$), поэтому предел равен нулю. Можно убедиться в этом, разделив числитель и знаменатель на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{5+\frac{2}{n^2}} = \frac{0}{5+0} = 0$.

Поскольку предел модуля последовательности равен нулю, то и предел самой последовательности равен нулю.

Найдем предел второго множителя, разделив числитель и знаменатель на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2n^2+n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2+0-0} = \frac{1}{2}$.

Перемножим полученные пределы:

$0 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: $0$.

4) Для вычисления предела $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n}{5n-1} \cdot \frac{2n^2+1}{n^2+4n-1} \right)$ воспользуемся свойством предела произведения.

Найдем предел первого множителя, разделив числитель и знаменатель на $n$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{5n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n}}{\frac{5n}{n}-\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5-\frac{1}{n}} = \frac{2}{5-0} = \frac{2}{5}$.

Найдем предел второго множителя, разделив числитель и знаменатель на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+1}{n^2+4n-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{4n}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{4}{n}-\frac{1}{n^2}} = \frac{2+0}{1+0-0} = 2$.

Перемножим полученные пределы:

$\frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.