gdz.top
Номер 6.55, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков
Авторы: Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Жумабаев Р. Н.
Тип: Учебник
Издательство: Атамұра
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-331-522-5
Рекомендовано Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Раздел 6. Предел и непрерывность. 6.2. Предел числовой последовательности - номер 6.55, страница 183.
№6.54
№6.55 (с. 183)
Учебник рус. №6.55 (с. 183)
6.55. Найдите предел последовательности $x_n = \frac{c^n}{1+c^n}$, $c \neq -1$, при $|c| < 1$, $|c| > 1$ и $c = 1$.
Учебник кз. №6.55 (с. 183)
Решение. №6.55 (с. 183)
Решение 2 (rus). №6.55 (с. 183)
Для нахождения предела последовательности $x_n = \frac{c^n}{1+c^n}$ при $n \to \infty$ рассмотрим три случая в зависимости от значения $c$.
|c| < 1
Если модуль $c$ меньше единицы, то предел геометрической прогрессии $c^n$ при $n \to \infty$ равен нулю.
$\lim_{n \to \infty} c^n = 0$
Используя это свойство, находим предел последовательности $x_n$:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c^n}{1+c^n} = \frac{0}{1+0} = 0$
Ответ: 0.
|c| > 1
Если модуль $c$ больше единицы, то при $n \to \infty$ величина $c^n$ стремится к бесконечности. В этом случае мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на $c^n$:
$x_n = \frac{c^n}{1+c^n} = \frac{\frac{c^n}{c^n}}{\frac{1}{c^n} + \frac{c^n}{c^n}} = \frac{1}{\frac{1}{c^n} + 1}$
Так как $|c| > 1$, то $|\frac{1}{c}| < 1$, и, следовательно, $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{c^n} = 0$.
Тогда предел последовательности $x_n$ равен:
$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{c^n} + 1} = \frac{1}{0+1} = 1$
Ответ: 1.
c = 1
Если $c = 1$, то каждый член последовательности $x_n$ равен константе:
$x_n = \frac{1^n}{1+1^n} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
Предел постоянной последовательности равен самой этой постоянной.
$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 6.55 расположенного на странице 183 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.55 (с. 183), авторов: Шыныбеков (Абдухали Насырович), Шыныбеков (Данияр Абдухалиевич), Жумабаев (Ринат Нурланович), учебного пособия издательства Атамұра.