Вопросы, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение непрерывности функции в точке $x_0$. Сформулируйте все три разновидности определения непрерывности функции и поясните связь между ними.

2. Какими свойствами обладает функция, непрерывная на отрезке? Поясните их смысл.

3. Какое из понятий является более общим: существование предела функции в точке $x = x_0$ или непрерывность функции в точке $x = x_0$? Почему?

1. Дайте определение непрерывности функции в точке x₀. Сформулируйте все три разновидности определения непрерывности функции и поясните связь между ними.

Непрерывность функции в точке — это свойство функции, говорящее об отсутствии «скачков» или «разрывов» в этой точке. Существует три эквивалентных определения непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$. Предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки $x_0$.

Определение 1 (на языке «эпсилон-дельта», или по Коши)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ найдётся такое положительное число $\delta$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

Формально: $ \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \forall x, |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $.

Определение 2 (на языке последовательностей, или по Гейне)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$ (где $x_n$ принадлежат области определения функции), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$.

Формально: $ \forall \{x_n\} \text{ такой, что } \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) $.

Определение 3 (через предел)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Это определение подразумевает выполнение трёх условий:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$.

2. Существует конечный предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $.

Связь между определениями

Все три определения эквивалентны. Определение по Коши и определение по Гейне являются двумя эквивалентными определениями предела функции, и в данном случае они применяются к ситуации, когда предел равен $f(x_0)$. Определение 3 является наиболее кратким и удобным для практического применения. Оно по сути является следствием первых двух и утверждает, что для непрерывной функции можно менять местами знак предела и знак функции: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(\lim_{x \to x_0} x) $.

Ответ: Существует три эквивалентных определения непрерывности функции в точке $x_0$: 1) на языке «эпсилон-дельта» (по Коши), 2) на языке последовательностей (по Гейне), и 3) через равенство предела функции в точке значению функции в этой точке ($ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $). Все они описывают одно и то же свойство отсутствия разрыва у функции в данной точке.

2. Какими свойствами обладает функция, непрерывная на отрезке? Поясните их смысл.

Функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$, обладает тремя ключевыми свойствами, которые известны как теоремы Вейерштрасса и Кантора.

1. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности и достижении экстремумов)

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке и достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней (то есть своего наибольшего и наименьшего значений).

Смысл: График такой функции на отрезке не уходит в бесконечность, то есть он заключен в горизонтальной полосе. Более того, на этом отрезке обязательно найдутся точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения. У графика есть самая высокая и самая низкая точки.

2. Вторая теорема Вейерштрасса (теорема о промежуточном значении, или теорема Больцано-Коши)

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$. То есть для любого числа $C$, такого что $f(a) \le C \le f(b)$ (или $f(b) \le C \le f(a)$), найдётся хотя бы одна точка $c \in [a, b]$, в которой $f(c) = C$.

Смысл: График непрерывной функции является сплошной линией. Его нельзя нарисовать от начальной точки $(a, f(a))$ до конечной $(b, f(b))$, не отрывая карандаша от бумаги. Это означает, что он пересечёт любую горизонтальную прямую, расположенную между уровнями $y = f(a)$ и $y = f(b)$. Как следствие, если $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки, то на интервале $(a, b)$ существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.

3. Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она равномерно непрерывна на нём.

Смысл: Равномерная непрерывность — это более сильное свойство, чем просто непрерывность. Оно означает, что скорость изменения функции на отрезке контролируема. Для любой заданной малой величины $\epsilon$ можно найти такую $\delta$, которая будет "работать" для любых двух точек на всем отрезке, а не только для одной конкретной точки и её окрестности. Это гарантирует отсутствие на отрезке участков с неограниченно растущей крутизной.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке: 1) ограничена и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений; 2) принимает все промежуточные значения между значениями на концах отрезка; 3) является равномерно непрерывной на этом отрезке.

3. Какое из понятий является более общим: существование предела функции в точке x = x₀ или непрерывность функции в точке x = x₀? Почему?

Более общим понятием является существование предела функции в точке $x = x_0$.

Почему:

Непрерывность функции $f(x)$ в точке $x_0$ является более строгим требованием. Для непрерывности необходимо, чтобы выполнялись одновременно три условия:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$.

2. Существует конечный предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

3. Предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Для существования предела достаточно выполнения только второго условия. Таким образом, функция может иметь предел в точке, но не быть в ней непрерывной. Это возможно в следующих случаях:

• Функция не определена в точке $x_0$. Например, функция $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. В точке $x_0 = 2$ она не определена, но предел в этой точке существует и равен $\lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. Предел есть, а непрерывности нет.

• Значение функции в точке не совпадает с пределом (устранимый разрыв). Например, рассмотрим функцию $g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$. Предел этой функции в точке $x_0 = 0$ существует и равен $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Однако значение функции в этой точке $g(0) = 0$. Так как $1 \neq 0$, функция не является непрерывной в точке $0$, хотя предел в ней существует.

Из этого следует, что если функция непрерывна в точке, то у нее обязательно есть предел в этой точке. Однако обратное неверно: наличие предела не гарантирует непрерывности. Следовательно, понятие существования предела является более общим, так как оно охватывает как непрерывные функции, так и функции с устранимым разрывом.

Ответ: Более общим понятием является существование предела, так как из непрерывности функции в точке следует существование предела в этой точке, но из существования предела не следует непрерывность (функция может быть не определена в точке или её значение в точке может не совпадать с пределом).