Номер 6.62, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.62. Покажите непрерывность функции, используя все три определения:

1) $f(x) = x^2 + 3, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{1}{x-5}, (x \neq 5), x_0 = 3.$

1) $f(x) = x^2 + 3, x_0 = 2$

Для того чтобы показать непрерывность функции в точке $x_0 = 2$, мы воспользуемся тремя основными определениями непрерывности. Сначала найдем значение функции в данной точке: $f(2) = 2^2 + 3 = 7$.

Первое определение (в терминах пределов)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Вычислим предел функции $f(x) = x^2 + 3$ при $x \to 2$:

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3 = 2^2 + 3 = 7$.

Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$ и $f(2) = 7$, то равенство $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ выполняется. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ согласно этому определению.

Второе определение (на языке $\epsilon$-$\delta$, по Коши)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любого положительного числа $\epsilon$ ($\epsilon > 0$) можно найти такое положительное число $\delta$ ($\delta > 0$), что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

Для нашей функции и точки $x_0=2$ нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что из $|x - 2| < \delta$ следует $|(x^2 + 3) - 7| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|f(x) - f(2)|$:

$|f(x) - f(2)| = |(x^2 + 3) - 7| = |x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2| \cdot |x+2|$.

Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки $x_0=2$, мы можем ограничить $x$ небольшой окрестностью этой точки. Например, выберем $\delta \le 1$. Тогда из $|x-2| < 1$ следует, что $1 < x < 3$. В этом интервале для сомножителя $|x+2|$ справедлива оценка: $3 < x+2 < 5$, то есть $|x+2| < 5$.

Тогда $|f(x) - f(2)| = |x-2| \cdot |x+2| < 5 \cdot |x-2|$.

Мы хотим, чтобы $|f(x) - f(2)| < \epsilon$. Для этого достаточно, чтобы $5 \cdot |x-2| < \epsilon$, что эквивалентно $|x-2| < \epsilon/5$.

Таким образом, мы должны удовлетворить двум условиям для $\delta$: $\delta \le 1$ и $\delta \le \epsilon/5$. Мы можем выбрать $\delta = \min(1, \epsilon/5)$. Такое $\delta > 0$ существует для любого $\epsilon > 0$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ по определению Коши.

Третье определение (на языке последовательностей, по Гейне)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$ (т.е. $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$ (т.е. $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$).

Пусть $\{x_n\}$ – произвольная последовательность, такая что $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$.

Найдем предел последовательности значений функции $f(x_n) = x_n^2 + 3$:

$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} (x_n^2 + 3) = (\lim_{n \to \infty} x_n)^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7$.

Так как $f(2) = 7$, мы получили, что $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(2)$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ по определению Гейне.

Ответ: Непрерывность функции $f(x) = x^2 + 3$ в точке $x_0 = 2$ доказана с использованием трех определений.

2) $f(x) = \frac{1}{x-5}, (x \neq 5), x_0 = 3$

Покажем непрерывность функции в точке $x_0 = 3$. Функция определена в этой точке, так как $3 \neq 5$. Найдем значение функции: $f(3) = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Первое определение (в терминах пределов)

Проверим выполнение равенства $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Вычислим предел функции $f(x) = \frac{1}{x-5}$ при $x \to 3$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{\lim_{x \to 3}(x-5)} = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку $\lim_{x \to 3} f(x) = -1/2$ и $f(3) = -1/2$, равенство выполняется. Функция непрерывна в точке $x_0=3$.

Второе определение (на языке $\epsilon$-$\delta$, по Коши)

Нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что из $|x - 3| < \delta$ следует $|\frac{1}{x-5} - (-\frac{1}{2})| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|f(x) - f(3)|$:

$|f(x) - f(3)| = \left|\frac{1}{x-5} + \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2 + (x-5)}{2(x-5)}\right| = \left|\frac{x-3}{2(x-5)}\right| = \frac{|x-3|}{2|x-5|}$.

Оценим знаменатель $|x-5|$ в окрестности точки $x_0=3$. Выберем $\delta \le 1$. Тогда из $|x-3| < 1$ следует, что $2 < x < 4$. Для этих $x$ выражение $x-5$ находится в интервале $(-3, -1)$. Следовательно, $|x-5| > 1$, а $\frac{1}{|x-5|} < 1$.

Тогда для $|f(x) - f(3)|$ получаем оценку:

$|f(x) - f(3)| = \frac{|x-3|}{2|x-5|} < \frac{|x-3|}{2 \cdot 1} = \frac{|x-3|}{2}$.

Чтобы выполнялось неравенство $|f(x) - f(3)| < \epsilon$, достаточно, чтобы $\frac{|x-3|}{2} < \epsilon$, то есть $|x-3| < 2\epsilon$.

Итак, для любого $\epsilon > 0$ мы можем выбрать $\delta = \min(1, 2\epsilon)$. Такое $\delta > 0$ существует. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=3$ по определению Коши.

Третье определение (на языке последовательностей, по Гейне)

Пусть $\{x_n\}$ – произвольная последовательность, такая что $\lim_{n \to \infty} x_n = 3$.

Найдем предел последовательности значений функции $f(x_n) = \frac{1}{x_n-5}$:

$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n-5} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}(x_n-5)} = \frac{1}{(\lim_{n \to \infty} x_n) - 5} = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Так как $f(3) = -1/2$, мы получили, что $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(3)$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=3$ по определению Гейне.

Ответ: Непрерывность функции $f(x) = \frac{1}{x-5}$ в точке $x_0 = 3$ доказана с использованием трех определений.