Номер 6.67, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.67. Является ли функция непрерывной в указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$, $(-\infty; +\infty);$

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$, $[2; +\infty);$

3) $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge -1, \\ -x, \text{ если } x < -1, \end{cases} (-\infty; +\infty);$

4) $f(x) = \frac{x}{|x|}$, $(-\infty; +\infty)?$

1) Функция $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Данная функция является рациональной, то есть отношением двух многочленов: $P(x) = x$ и $Q(x) = x^2 + 1$. Рациональная функция непрерывна на всей своей области определения, то есть везде, где ее знаменатель не равен нулю.

Найдем точки, в которых знаменатель $Q(x) = x^2 + 1$ обращается в ноль, решив уравнение $x^2 + 1 = 0$.

Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, функция определена и непрерывна для всех действительных чисел.

Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на указанном промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, является.

2) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ задана на промежутке $[2; +\infty)$.

Эта функция является частным двух функций и будет непрерывна там, где она определена. Найдем область определения функции $f(x)$. Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Таким образом, область определения функции: $[0; 1) \cup (1; +\infty)$. Внутри этой области функция непрерывна как композиция и частное непрерывных функций.

Рассмотрим указанный промежуток $[2; +\infty)$. Каждая точка этого промежутка принадлежит области определения функции, так как $[2; +\infty) \subset ([0; 1) \cup (1; +\infty))$. Точки, где функция не определена или имеет разрыв (то есть $x < 0$ и $x = 1$), не входят в промежуток $[2; +\infty)$.

Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на указанном промежутке.

Ответ: Да, является.

3) Функция $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge -1 \\ -x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Это кусочно-заданная функция. Исследуем ее на непрерывность.

На промежутке $(-1; +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = x$. Это линейная функция, и она непрерывна на этом промежутке.

На промежутке $(-\infty; -1)$ функция задана формулой $f(x) = -x$. Это также линейная функция, и она непрерывна на этом промежутке.

Единственной точкой, в которой непрерывность может нарушаться, является точка "склейки" $x = -1$.

Для непрерывности функции в точке $x = -1$ необходимо, чтобы существовал предел функции в этой точке и он был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$.

Найдем значение функции в точке $x = -1$: $f(-1) = x|_{x=-1} = -1$.

Теперь найдем односторонние пределы в этой точке.

Предел справа (при $x \to -1$ и $x > -1$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1$.

Предел слева (при $x \to -1$ и $x < -1$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x) = -(-1) = 1$.

Так как предел слева ($1$) не равен пределу справа ($-1$), то общий предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. В точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Поскольку функция имеет разрыв в точке $x = -1$, она не является непрерывной на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Нет, не является.

4) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Найдем область определения данной функции. Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю. Это условие нарушается при $x = 0$.

Таким образом, функция не определена в точке $x = 0$. Согласно определению, функция не может быть непрерывной в точке, в которой она не определена.

Поскольку точка $x = 0$ принадлежит промежутку $(-\infty; +\infty)$, функция не является непрерывной на всем этом промежутке.

Рассмотрим поведение функции подробнее. Раскроем модуль:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x} = 1, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x}{-x} = -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Найдем односторонние пределы в точке $x = 0$:

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$.

Пределы слева и справа не совпадают, следовательно, предел функции в точке $x=0$ не существует. Это подтверждает, что в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Так как функция имеет разрыв в точке $x = 0$, она не является непрерывной на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Нет, не является.