Номер 6.73, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.73. Подберите параметр $m$ так, чтобы функция была непрерывной в указанной точке:

1) $f(x)= \begin{cases} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}, & \text{если } x \neq 0, \\ m, & \text{если } x=0, \end{cases}$ в точке $x=0$;

2) $f(x)= \begin{cases} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x}, & \text{если } x \neq 0, \\ m, & \text{если } x=0, \end{cases}$ в точке $x=0$.

1) Функция $f(x)$ будет непрерывной в точке $x = 0$, если предел функции в этой точке равен ее значению в этой точке, то есть $\lim_{x\to0} f(x) = f(0)$.

Согласно условию, значение функции в точке $x=0$ равно $m$, то есть $f(0) = m$.

Теперь найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$

При подстановке $x=0$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель на $2x$, а знаменатель на $3x$:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}$

Поскольку при $x \to 0$ также $2x \to 0$ и $3x \to 0$, то по первому замечательному пределу $\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$.

Тогда предел равен:

$\lim_{x\to0} \frac{1 \cdot 2x}{1 \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Для непрерывности функции в точке $x = 0$ необходимо, чтобы $f(0) = \lim_{x\to0} f(x)$. Следовательно, $m = \frac{2}{3}$.

Ответ: $m = \frac{2}{3}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, для непрерывности функции $f(x)$ в точке $x = 0$ необходимо, чтобы выполнялось равенство $\lim_{x\to0} f(x) = f(0)$.

По условию, $f(0) = m$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x}$

При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Подставим это выражение в знаменатель предела:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Поскольку в пределе $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), то $(1 - \cos x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель:

$\lim_{x\to0} \frac{1}{1 + \cos x}$

Теперь мы можем подставить значение $x = 0$ в полученное выражение:

$\frac{1}{1 + \cos 0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, для обеспечения непрерывности функции в точке $x = 0$ должно выполняться условие $m = \frac{1}{2}$.

Ответ: $m = \frac{1}{2}$.