Номер 6.77, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. Найдите предел:

1) $\lim_{n\to\infty} [n(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})];$

2) $\lim_{n\to\infty} [\sqrt{n}(\sqrt{n + 3} - \sqrt{n - 7})];$

3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n + 1});$

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^2};$

5) $\lim_{n\to\infty} \frac{2 + 4 + 6 + ... + 2n}{3n^2};$

6) $\lim_{n\to\infty} \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)}{n^2}.$

1) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} [n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})]$, мы имеем неопределенность вида $\infty \cdot (\infty - \infty)$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение $(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1})$.

$\lim_{n \to \infty} [n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})] = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1})}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ в числителе, получаем:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n((n^2+1) - (n^2-1))}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n^2+1-n^2+1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}}$

Теперь разделим числитель и знаменатель на $n$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\frac{\sqrt{n^2+1}}{n} + \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} + \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}$

Поскольку при $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, предел равен:

$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

Ответ: $1$

2) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n-7})]$. Здесь также неопределенность вида $\infty \cdot (\infty - \infty)$. Умножим и разделим на сопряженное выражение $(\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7})$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n-7})(\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7})}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}((n+3) - (n-7))}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(n+3-n+7)}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}}$

Разделим числитель и знаменатель на $\sqrt{n}$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{10}{\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n-7}}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{7}{n}}}$

При $n \to \infty$, дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{7}{n}$ стремятся к нулю:

$\frac{10}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{10}{1+1} = 5$

Ответ: $5$

3) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1})$. Это неопределенность вида $\infty - \infty$. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, откуда $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Положим $a = \sqrt[3]{n}$ и $b = \sqrt[3]{n+1}$.

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt[3]{n})^3 - (\sqrt[3]{n+1})^3}{(\sqrt[3]{n})^2 + \sqrt[3]{n}\sqrt[3]{n+1} + (\sqrt[3]{n+1})^2}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n - (n+1)}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2+2n+1}}$

В числителе стоит константа $-1$, а знаменатель при $n \to \infty$ стремится к бесконечности. Следовательно, предел равен 0.

Ответ: $0$

4) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}$. В числителе находится сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2+4+6+...+2n}{3n^2}$. Вынесем 2 за скобки в числителе.

$2+4+6+...+2n = 2(1+2+3+...+n)$

Используя результат из предыдущего пункта, получаем: $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2+n$.

Подставим это в предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{3} = \frac{1+0}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

6) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^2}$. В числителе стоит сумма первых $n$ нечетных чисел, которая является арифметической прогрессией. Ее сумма равна $S_n = n^2$.

Можно также посчитать по формуле суммы арифметической прогрессии с первым членом $a_1=1$, последним членом $a_n = 2n-1$ и количеством членов $n$:

$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = \frac{(1 + 2n-1)n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$

Подставляем в предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$

Ответ: $1$