Номер 6.81, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В заданиях 6.81–6.86 найдите указанные пределы.

6. 81.

1) $ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}; $

2) $ \lim_{x\to -1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}; $

3) $ \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x^3-64}; $

4) $ \lim_{x\to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}. $

1) $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$

При подстановке предельного значения $x = 8$ в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8 - 8} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Представим знаменатель в виде $x - 8 = (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3$.

$x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)$

Подставим разложенный знаменатель в исходное выражение:

$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} - 2)$, так как $x \to 8$, но $x \neq 8$:

$\lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}$

Теперь подставим значение $x = 8$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]{8} + 4} = \frac{1}{\sqrt[3]{64} + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

2) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x} + 1}$

При подстановке $x = -1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{-1 + 1}{\sqrt[3]{-1} + 1} = \frac{0}{-1 + 1} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим на множители числитель, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Представим числитель в виде $x + 1 = (\sqrt[3]{x})^3 + 1^3$.

$x + 1 = (\sqrt[3]{x} + 1)((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$\lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{\sqrt[3]{x} + 1}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} + 1)$, так как $x \to -1$, но $x \neq -1$:

$\lim_{x \to -1} (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$

Теперь подставим значение $x = -1$:

$\sqrt[3]{(-1)^2} - \sqrt[3]{-1} + 1 = \sqrt[3]{1} - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: $3$

3) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^3 - 64}$

При подстановке $x = 4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{4} - 2}{4^3 - 64} = \frac{2 - 2}{64 - 64} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители. Сначала используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$

Затем разложим множитель $(x-4)$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, представив $x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2$:

$x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

Тогда знаменатель равен $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)$. Подставим это в предел:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 2)$:

$\lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)}$

Теперь подставим значение $x = 4$:

$\frac{1}{(\sqrt{4} + 2)(4^2 + 4 \cdot 4 + 16)} = \frac{1}{(2 + 2)(16 + 16 + 16)} = \frac{1}{4 \cdot 48} = \frac{1}{192}$

Ответ: $\frac{1}{192}$

4) $\lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x-3}}{x^2 - 49}$

При подстановке $x = 7$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{2 - \sqrt{7-3}}{7^2 - 49} = \frac{2 - \sqrt{4}}{49 - 49} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(2 + \sqrt{x-3})$. Также разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{(2 - \sqrt{x-3})(2 + \sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

В числителе применим формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\lim_{x \to 7} \frac{2^2 - (\sqrt{x-3})^2}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{4 - (x-3)}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

$\lim_{x \to 7} \frac{4 - x + 3}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{7 - x}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

Так как $7-x = -(x-7)$, сократим дробь на $(x-7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{-1}{(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

Теперь подставим значение $x = 7$:

$\frac{-1}{(7+7)(2 + \sqrt{7-3})} = \frac{-1}{14(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{14(2+2)} = \frac{-1}{14 \cdot 4} = -\frac{1}{56}$

Ответ: $-\frac{1}{56}$