Номер 6.82, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.82. 1) $lim_{x\to3} \frac{9-x^2}{1-\sqrt[3]{x^2-8}};$

2) $lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1};$

3) $lim_{x\to81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{\sqrt{x}-9};$

4) $lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}.$

1)Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{1-\sqrt[3]{x^2-8}}$.При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как числитель $9 - 3^2 = 0$ и знаменатель $1 - \sqrt[3]{3^2 - 8} = 1 - \sqrt[3]{1} = 0$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2$, чтобы использовать формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$\lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2)}{(1-\sqrt[3]{x^2-8})(1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2)} = \lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})}{1^3 - (\sqrt[3]{x^2-8})^3}$
Упростим знаменатель: $1 - (x^2-8) = 1 - x^2 + 8 = 9-x^2$.
Предел примет вид:
$\lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})}{9-x^2}$
Так как $x \to 3$, то $x \ne 3$, и мы можем сократить общий множитель $(9-x^2)$.
$\lim_{x \to 3} (1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})$
Теперь можно подставить значение $x=3$:
$1+\sqrt[3]{3^2-8}+\sqrt[3]{(3^2-8)^2} = 1+\sqrt[3]{9-8}+\sqrt[3]{(9-8)^2} = 1+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1^2} = 1+1+1 = 3$.
Ответ: $3$.

2)Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Чтобы избавиться от корней, сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[6]{x+1}$. Тогда $x+1=y^6$, $\sqrt{x+1}=y^3$, $\sqrt[3]{x+1}=y^2$. Когда $x \to 0$, $y \to \sqrt[6]{0+1}=1$.
Подставим новую переменную в предел:
$\lim_{y \to 1} \frac{y^3-1}{y^2-1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам разности кубов и разности квадратов:
$\lim_{y \to 1} \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{(y-1)(y+1)}$
Так как $y \to 1$, $y \ne 1$, сокращаем общий множитель $(y-1)$:
$\lim_{y \to 1} \frac{y^2+y+1}{y+1}$
Теперь подставляем значение $y=1$:
$\frac{1^2+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3)Вычислим предел $\lim_{x \to 81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{\sqrt{x}-9}$.При подстановке $x=81$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\sqrt[4]{81}-3=0$ и $\sqrt{81}-9=0$.
Для раскрытия неопределенности представим знаменатель в виде разности квадратов, заметив, что $\sqrt{x}=(\sqrt[4]{x})^2$ и $9=3^2$.
$\sqrt{x}-9 = (\sqrt[4]{x})^2-3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$.
Подставим это выражение в предел:
$\lim_{x \to 81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}$
Так как $x \to 81$, $x \ne 81$, сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{x}-3)$:
$\lim_{x \to 81} \frac{1}{\sqrt[4]{x}+3}$
Теперь подставляем значение $x=81$:
$\frac{1}{\sqrt[4]{81}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

4)Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})$.
$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$
В числителе применяем формулу разности квадратов:
$(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{1-x})^2 = (x+1) - (1-x) = x+1-1+x = 2x$.
Предел принимает вид:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$
Так как $x \to 0$, $x \ne 0$, сокращаем $x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}$
Теперь подставляем значение $x=0$:
$\frac{2}{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1$.