Страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.82. 1) $lim_{x\to3} \frac{9-x^2}{1-\sqrt[3]{x^2-8}};$

2) $lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1};$

3) $lim_{x\to81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{\sqrt{x}-9};$

4) $lim_{x\to0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}.$

1)Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{1-\sqrt[3]{x^2-8}}$.При подстановке $x=3$ в выражение получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как числитель $9 - 3^2 = 0$ и знаменатель $1 - \sqrt[3]{3^2 - 8} = 1 - \sqrt[3]{1} = 0$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2$, чтобы использовать формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
$\lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2)}{(1-\sqrt[3]{x^2-8})(1+\sqrt[3]{x^2-8}+(\sqrt[3]{x^2-8})^2)} = \lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})}{1^3 - (\sqrt[3]{x^2-8})^3}$
Упростим знаменатель: $1 - (x^2-8) = 1 - x^2 + 8 = 9-x^2$.
Предел примет вид:
$\lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2)(1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})}{9-x^2}$
Так как $x \to 3$, то $x \ne 3$, и мы можем сократить общий множитель $(9-x^2)$.
$\lim_{x \to 3} (1+\sqrt[3]{x^2-8}+\sqrt[3]{(x^2-8)^2})$
Теперь можно подставить значение $x=3$:
$1+\sqrt[3]{3^2-8}+\sqrt[3]{(3^2-8)^2} = 1+\sqrt[3]{9-8}+\sqrt[3]{(9-8)^2} = 1+\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1^2} = 1+1+1 = 3$.
Ответ: $3$.

2)Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Чтобы избавиться от корней, сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[6]{x+1}$. Тогда $x+1=y^6$, $\sqrt{x+1}=y^3$, $\sqrt[3]{x+1}=y^2$. Когда $x \to 0$, $y \to \sqrt[6]{0+1}=1$.
Подставим новую переменную в предел:
$\lim_{y \to 1} \frac{y^3-1}{y^2-1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители по формулам разности кубов и разности квадратов:
$\lim_{y \to 1} \frac{(y-1)(y^2+y+1)}{(y-1)(y+1)}$
Так как $y \to 1$, $y \ne 1$, сокращаем общий множитель $(y-1)$:
$\lim_{y \to 1} \frac{y^2+y+1}{y+1}$
Теперь подставляем значение $y=1$:
$\frac{1^2+1+1}{1+1} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

3)Вычислим предел $\lim_{x \to 81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{\sqrt{x}-9}$.При подстановке $x=81$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$, так как $\sqrt[4]{81}-3=0$ и $\sqrt{81}-9=0$.
Для раскрытия неопределенности представим знаменатель в виде разности квадратов, заметив, что $\sqrt{x}=(\sqrt[4]{x})^2$ и $9=3^2$.
$\sqrt{x}-9 = (\sqrt[4]{x})^2-3^2 = (\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)$.
Подставим это выражение в предел:
$\lim_{x \to 81} \frac{\sqrt[4]{x}-3}{(\sqrt[4]{x}-3)(\sqrt[4]{x}+3)}$
Так как $x \to 81$, $x \ne 81$, сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{x}-3)$:
$\lim_{x \to 81} \frac{1}{\sqrt[4]{x}+3}$
Теперь подставляем значение $x=81$:
$\frac{1}{\sqrt[4]{81}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

4)Вычислим предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}}{x}$.При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю выражение $(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})$.
$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$
В числителе применяем формулу разности квадратов:
$(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{1-x})^2 = (x+1) - (1-x) = x+1-1+x = 2x$.
Предел принимает вид:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x})}$
Так как $x \to 0$, $x \ne 0$, сокращаем $x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}}$
Теперь подставляем значение $x=0$:
$\frac{2}{\sqrt{0+1}+\sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$.
Ответ: $1$.

6.83. 1) $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x}}{2x}$;

3) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$;

4) $\lim_{x \to 15} \frac{\sqrt[4]{x+1} - 2}{\sqrt{x+1} - 4}$.

1) Для нахождения предела $\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы, чтобы избавиться от кубических корней в числителе, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Пусть $a = \sqrt[3]{x+h}$ и $b = \sqrt[3]{x}$. Тогда сопряженное выражение будет $a^2+ab+b^2 = (\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2$.
$\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \lim_{h\to0} \frac{(\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x})((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{h((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)}$
В числителе получаем разность кубов:
$(\sqrt[3]{x+h})^3 - (\sqrt[3]{x})^3 = (x+h) - x = h$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{h\to0} \frac{h}{h((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)} = \lim_{h\to0} \frac{1}{(\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + \sqrt[3]{x^2}}$
Теперь можно подставить $h=0$:
$\frac{1}{(\sqrt[3]{x+0})^2 + \sqrt[3]{(x+0)x} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

2)Для нахождения предела $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x}}{2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем тот же метод, что и в предыдущем задании, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы применить формулу разности кубов.
Пусть $a = \sqrt[3]{1-x}$ и $b = \sqrt[3]{1+x}$. Сопряженное выражение: $(\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{(1-x)(1+x)} + (\sqrt[3]{1+x})^2$.
$\lim_{x\to0} \frac{(\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x})((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)}{2x((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)}$
В числителе получаем: $(1-x) - (1+x) = 1-x-1-x = -2x$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{x\to0} \frac{-2x}{2x((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)} = \lim_{x\to0} \frac{-1}{(\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2}$
Теперь подставляем $x=0$:
$\frac{-1}{(\sqrt[3]{1-0})^2 + \sqrt[3]{1-0^2} + (\sqrt[3]{1+0})^2} = \frac{-1}{1+1+1} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3)Для нахождения предела $\lim_{x\to2} \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x^2+5} + 3$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\lim_{x\to2} \frac{(\sqrt{x^2+5} - 3)(\sqrt{x^2+5} + 3)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)} = \lim_{x\to2} \frac{(x^2+5) - 3^2}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)}$
Упрощаем числитель:
$x^2+5 - 9 = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)} = \lim_{x\to2} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5} + 3}$
Теперь можно подставить $x=2$:
$\frac{2+2}{\sqrt{2^2+5} + 3} = \frac{4}{\sqrt{9} + 3} = \frac{4}{3+3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4)Для нахождения предела $\lim_{x\to15} \frac{\sqrt[4]{x+1} - 2}{\sqrt{x+1} - 4}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для упрощения выражения введем замену переменной.
Пусть $y = \sqrt[4]{x+1}$. Когда $x \to 15$, то $x+1 \to 16$, и $y \to \sqrt[4]{16} = 2$.
Также выразим $\sqrt{x+1}$ через $y$: $\sqrt{x+1} = (\sqrt[4]{x+1})^2 = y^2$.
Теперь предел можно переписать в терминах $y$:
$\lim_{y\to2} \frac{y-2}{y^2-4}$
Знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$.
$\lim_{y\to2} \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} = \lim_{y\to2} \frac{1}{y+2}$
Теперь подставляем $y=2$:
$\frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

6.84. 1) $\lim_{x \to 0.4} \frac{125x^3 - 150x^2 + 60x - 8}{25x^2 - 20x + 4}$;

2) $\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{16x^3 - 40x^2 - 23x - 3}{16x^3 + 56x^2 + 25x + 3}$;

3) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4}$;

4) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0,4} \frac{125x^3 - 150x^2 + 60x - 8}{25x^2 - 20x + 4}$.
При подстановке $x = 0,4 = \frac{2}{5}$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $125(\frac{2}{5})^3 - 150(\frac{2}{5})^2 + 60(\frac{2}{5}) - 8 = 125 \cdot \frac{8}{125} - 150 \cdot \frac{4}{25} + \frac{120}{5} - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0$.
Знаменатель: $25(\frac{2}{5})^2 - 20(\frac{2}{5}) + 4 = 25 \cdot \frac{4}{25} - \frac{40}{5} + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что они являются формулами сокращенного умножения.
Знаменатель: $25x^2 - 20x + 4 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = (5x-2)^2$.
Числитель: $125x^3 - 150x^2 + 60x - 8 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 - 2^3 = (5x-2)^3$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to 0,4} \frac{(5x-2)^3}{(5x-2)^2} = \lim_{x \to 0,4} (5x-2) = 5 \cdot 0,4 - 2 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: $0$.

2) Вычислим предел $\lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{16x^3 - 40x^2 - 23x - 3}{16x^3 + 56x^2 + 25x + 3}$.
При подстановке $x = -\frac{1}{4}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $16(-\frac{1}{64}) - 40(\frac{1}{16}) - 23(-\frac{1}{4}) - 3 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + \frac{23}{4} - 3 = \frac{-1-10+23-12}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Знаменатель: $16(-\frac{1}{64}) + 56(\frac{1}{16}) + 25(-\frac{1}{4}) + 3 = -\frac{1}{4} + \frac{7}{2} - \frac{25}{4} + 3 = \frac{-1+14-25+12}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Поскольку $x = -\frac{1}{4}$ является корнем многочленов в числителе и знаменателе, то оба многочлена делятся на $(x + \frac{1}{4})$ или, что эквивалентно, на $(4x+1)$.
Разложим числитель: $16x^3 - 40x^2 - 23x - 3 = (4x+1)(4x^2 - 11x - 3)$. У многочлена $4x^2 - 11x - 3$ корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$, поэтому $4x^2 - 11x - 3 = 4(x-3)(x+\frac{1}{4}) = (x-3)(4x+1)$. Следовательно, числитель равен $(4x+1)^2(x-3)$.
Разложим знаменатель: $16x^3 + 56x^2 + 25x + 3 = (4x+1)(4x^2 + 13x + 3)$. У многочлена $4x^2 + 13x + 3$ корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$, поэтому $4x^2 + 13x + 3 = 4(x+3)(x+\frac{1}{4}) = (x+3)(4x+1)$. Следовательно, знаменатель равен $(4x+1)^2(x+3)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{(4x+1)^2(x-3)}{(4x+1)^2(x+3)} = \lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{x-3}{x+3} = \frac{-\frac{1}{4}-3}{-\frac{1}{4}+3} = \frac{-\frac{13}{4}}{\frac{11}{4}} = -\frac{13}{11}$.
Ответ: $-\frac{13}{11}$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4}$.
При подстановке $x = -2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^4 + 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 4 = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Знаменатель: поскольку $x = -2$ является корнем многочлена, он делится на $(x+2)$. Так как подстановка $x=-2$ в производную знаменателя также дает ноль, то $x=-2$ является корнем кратности не менее 2. Разделим многочлен $x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4$ на $(x+2)^2 = x^2+4x+4$ столбиком или по схеме Горнера дважды.
$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 = (x+2)(x^3 - 3x + 2) = (x+2)(x+2)(x^2-2x+1) = (x+2)^2(x-1)^2$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2(x-1)^2} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{1}{(-2-1)^2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}$.
При подстановке $x = 3$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
Знаменатель: $3^3 - 3(3^2) - 4(3) + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.
Знаменатель разложим методом группировки:
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x^2-4)(x-3) = (x-2)(x+2)(x-3)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-2)(x+2)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} = \frac{3+1}{(3-2)(3+2)} = \frac{4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

6.85. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - \sin x}{x^3}$;

3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2}$.

1) Для вычисления предела $lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся вторым замечательным пределом, следствием из которого является формула $lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$.

Преобразуем исходное выражение:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = lim_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos x)}{3x^2} = -\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

Теперь, применяя известный предел, получаем:

$-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

2) Найдем предел $lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3}$. При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Выполним преобразования, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

Разделим предел на произведение нескольких пределов, используя первый замечательный предел $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ и его следствие $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$:

$lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\frac{1 - \cos x}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right) = \left(lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\right) \cdot \left(lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$

Вычисляем каждый предел отдельно:

$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$

Перемножая результаты, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Вычислим предел $lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель на $x$.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x} - \frac{\sin 2x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sin 3x}{x}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{\sin 2x}{x}}{1 + \frac{\sin 3x}{x}}$

Воспользуемся обобщением первого замечательного предела: $lim_{u \to 0} \frac{\sin(ku)}{u} = k$.

Для числителя: $lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$.

Для знаменателя: $lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$.

Подставим найденные значения в основное выражение:

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}}{1 + lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}} = \frac{1 - 2}{1 + 3} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

4) Найдем предел $lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2}$. Здесь также неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия можно использовать правило Лопиталя дважды, либо применить тригонометрическую формулу разности косинусов. Мы воспользуемся другим методом: прибавим и вычтем 1 в числителе.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{(\cos mx - 1) - (\cos nx - 1)}{x^2}$

Разделим предел на разность двух пределов:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{x^2} - lim_{x \to 0} \frac{\cos nx - 1}{x^2}$

Рассмотрим первый предел. Используя следствие из второго замечательного предела $lim_{u \to 0} \frac{\cos u - 1}{u^2} = -\frac{1}{2}$, преобразуем его:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{(mx)^2} \cdot m^2 = m^2 \cdot \left(lim_{mx \to 0} \frac{\cos(mx) - 1}{(mx)^2}\right) = m^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{m^2}{2}$

Аналогично для второго предела:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos nx - 1}{x^2} = n^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{n^2}{2}$

Теперь найдем разность этих значений:

$\left(-\frac{m^2}{2}\right) - \left(-\frac{n^2}{2}\right) = -\frac{m^2}{2} + \frac{n^2}{2} = \frac{n^2 - m^2}{2}$

Ответ: $\frac{n^2 - m^2}{2}$

6.86. 1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2\cos x}{\pi - 3x}$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{1 - 2\cos x}$.

1) Найдём предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{1-2\cos x}{\pi-3x}$.

При подстановке предельного значения $x = \frac{\pi}{3}$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $1 - 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$.

Знаменатель: $\pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi - \pi = 0$.

Для раскрытия неопределенности выполним замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Отсюда $x = t + \frac{\pi}{3}$. Когда $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение.Знаменатель преобразуется к виду: $\pi - 3x = \pi - 3(t + \frac{\pi}{3}) = \pi - 3t - \pi = -3t$.

Числитель преобразуется следующим образом, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$1 - 2\cos x = 1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cos\frac{\pi}{3} - \sin t \sin\frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cdot \frac{1}{2} - \sin t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$.

Теперь исходный предел можно переписать как:

$\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}{-3t}$.

Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{t\to 0} \left(\frac{1 - \cos t}{-3t} + \frac{\sqrt{3}\sin t}{-3t}\right) = \lim_{t\to 0} \left(-\frac{1}{3}\frac{1 - \cos t}{t}\right) - \lim_{t\to 0} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sin t}{t}\right)$.

Используя первый замечательный предел $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ и его следствие $\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} = 0$, получаем:

$-\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Другой способ решения — правило Лопиталя. Производная числителя: $(1-2\cos x)' = 2\sin x$. Производная знаменателя: $(\pi-3x)' = -3$. Тогда предел равен:

$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{2\sin x}{-3} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{3})}{-3} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Найдём предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}$.

При подстановке $x = \frac{\pi}{3}$ в числитель и знаменатель также получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \sin(0) = 0$.

Знаменатель: $1 - 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Сделаем ту же замену переменной, что и в первом пункте: $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда $x = t + \frac{\pi}{3}$, и при $x \to \frac{\pi}{3}$ имеем $t \to 0$.

Подставим новую переменную в выражение:

$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{1-2\cos(t + \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель, как мы уже выяснили в предыдущем пункте, равен $1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$.

Таким образом, предел принимает вид:

$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}$.

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на $t$ (так как $t \to 0$, $t \ne 0$):

$\lim_{t\to 0} \frac{\frac{\sin t}{t}}{\frac{1 - \cos t}{t} + \frac{\sqrt{3}\sin t}{t}} = \frac{\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}}{\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} + \sqrt{3}\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}}$.

Используя первый замечательный предел $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ и его следствие $\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} = 0$, получаем:

$\frac{1}{0 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

По правилу Лопиталя: производная числителя $(\sin(x-\frac{\pi}{3}))' = \cos(x-\frac{\pi}{3})$. Производная знаменателя $(1-2\cos x)' = 2\sin x$. Предел равен:

$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(x-\frac{\pi}{3})}{2\sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})}{2\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\cos(0)}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.