Страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.77. Найдите предел:

1) $\lim_{n\to\infty} [n(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n^2 - 1})];$

2) $\lim_{n\to\infty} [\sqrt{n}(\sqrt{n + 3} - \sqrt{n - 7})];$

3) $\lim_{n\to\infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n + 1});$

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n^2};$

5) $\lim_{n\to\infty} \frac{2 + 4 + 6 + ... + 2n}{3n^2};$

6) $\lim_{n\to\infty} \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)}{n^2}.$

1) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} [n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})]$, мы имеем неопределенность вида $\infty \cdot (\infty - \infty)$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение $(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1})$.

$\lim_{n \to \infty} [n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})] = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n^2-1})(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1})}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ в числителе, получаем:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n((n^2+1) - (n^2-1))}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(n^2+1-n^2+1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n^2-1}}$

Теперь разделим числитель и знаменатель на $n$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\frac{\sqrt{n^2+1}}{n} + \frac{\sqrt{n^2-1}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}} + \sqrt{\frac{n^2-1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} + \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}$

Поскольку при $n \to \infty$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, предел равен:

$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$

Ответ: $1$

2) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} [\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n-7})]$. Здесь также неопределенность вида $\infty \cdot (\infty - \infty)$. Умножим и разделим на сопряженное выражение $(\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7})$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n-7})(\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7})}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}((n+3) - (n-7))}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(n+3-n+7)}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10\sqrt{n}}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n-7}}$

Разделим числитель и знаменатель на $\sqrt{n}$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{10}{\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n-7}}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10}{\sqrt{1+\frac{3}{n}} + \sqrt{1-\frac{7}{n}}}$

При $n \to \infty$, дроби $\frac{3}{n}$ и $\frac{7}{n}$ стремятся к нулю:

$\frac{10}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{10}{1+1} = 5$

Ответ: $5$

3) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1})$. Это неопределенность вида $\infty - \infty$. Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, откуда $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Положим $a = \sqrt[3]{n}$ и $b = \sqrt[3]{n+1}$.

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt[3]{n} - \sqrt[3]{n+1}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt[3]{n})^3 - (\sqrt[3]{n+1})^3}{(\sqrt[3]{n})^2 + \sqrt[3]{n}\sqrt[3]{n+1} + (\sqrt[3]{n+1})^2}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n - (n+1)}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2+2n+1}}$

В числителе стоит константа $-1$, а знаменатель при $n \to \infty$ стремится к бесконечности. Следовательно, предел равен 0.

Ответ: $0$

4) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+...+n}{n^2}$. В числителе находится сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, которая вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{2n^2}$

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n^2$:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2} = \frac{1+0}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

5) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2+4+6+...+2n}{3n^2}$. Вынесем 2 за скобки в числителе.

$2+4+6+...+2n = 2(1+2+3+...+n)$

Используя результат из предыдущего пункта, получаем: $2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1) = n^2+n$.

Подставим это в предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+n}{3n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{3} = \frac{1+0}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

6) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n^2}$. В числителе стоит сумма первых $n$ нечетных чисел, которая является арифметической прогрессией. Ее сумма равна $S_n = n^2$.

Можно также посчитать по формуле суммы арифметической прогрессии с первым членом $a_1=1$, последним членом $a_n = 2n-1$ и количеством членов $n$:

$S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2} = \frac{(1 + 2n-1)n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$

Подставляем в предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$

Ответ: $1$

6.78. Покажите, что последовательность ${a_n}$ имеет предел, и найдите этот предел, если $a_1 = a, a_2 = b, a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Данная последовательность определяется линейным рекуррентным соотношением второго порядка. Для того чтобы доказать, что предел существует, и найти его, мы найдем явную формулу для n-го члена последовательности $a_n$. Существование конечного предела у этой формулы при $n \to \infty$ будет доказывать, что и исходная последовательность имеет предел.

Рекуррентное соотношение имеет вид: $a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$.

Перепишем его в стандартной форме для однородного линейного рекуррентного уравнения:

$2a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0$

Составим соответствующее характеристическое уравнение, заменив $a_k$ на $r^k$ и разделив на $r^n$:

$2r^2 - r - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно разложить левую часть на множители:

$2r^2 - 2r + r - 1 = 0$

$2r(r - 1) + 1(r - 1) = 0$

$(2r + 1)(r - 1) = 0$

Корни характеристического уравнения: $r_1 = 1$ и $r_2 = -\frac{1}{2}$.

Поскольку корни различны, общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n = C_1 (1)^n + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n$

где $C_1$ и $C_2$ — константы, которые мы определим из начальных условий: $a_1 = a$ и $a_2 = b$.

Подставим $n=1$ и $n=2$ в общее решение, чтобы получить систему уравнений для $C_1$ и $C_2$:

Для $n=1$: $a_1 = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = C_1 - \frac{C_2}{2} = a$

Для $n=2$: $a_2 = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = C_1 + \frac{C_2}{4} = b$

Получили систему:

$\begin{cases} C_1 - \frac{C_2}{2} = a \\ C_1 + \frac{C_2}{4} = b \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $C_2$:

$(C_1 + \frac{C_2}{4}) - (C_1 - \frac{C_2}{2}) = b - a$

$\frac{C_2}{4} + \frac{C_2}{2} = b - a$

$\frac{3C_2}{4} = b - a$

$C_2 = \frac{4}{3}(b - a)$

Теперь найдем $C_1$, подставив найденное значение $C_2$ во второе уравнение системы:

$C_1 + \frac{1}{4} \left( \frac{4}{3}(b - a) \right) = b$

$C_1 + \frac{1}{3}(b - a) = b$

$C_1 = b - \frac{1}{3}(b - a) = b - \frac{b}{3} + \frac{a}{3} = \frac{3b - b + a}{3} = \frac{a + 2b}{3}$

Таким образом, мы нашли константы $C_1$ и $C_2$ и можем записать явную формулу для $a_n$:

$a_n = \frac{a + 2b}{3} + \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n$

Теперь, когда у нас есть явная формула для члена последовательности, мы можем найти ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a + 2b}{3} + \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n \right)$

Поскольку $|-\frac{1}{2}| < 1$, предел степенного члена равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n = 0$

Следовательно, второй член в выражении для $a_n$ стремится к нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{4}{3}(b - a) \cdot 0 = 0$

Таким образом, предел последовательности существует и равен:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{a + 2b}{3} + 0 = \frac{a + 2b}{3}$

Мы показали, что предел существует, и нашли его значение.

Ответ: Предел последовательности существует и равен $\frac{a + 2b}{3}$.

6.79. Докажите, что последовательность имеет предел:

1) $y_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n}$;

2) $z_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$;

3) $u_n = 1 + \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \frac{1}{4 \cdot 2^3} + \dots + \frac{1}{n \cdot 2^{n-1}};

4) $v_n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$.

1) Для доказательства того, что последовательность $y_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n}$ имеет предел, воспользуемся теоремой Вейерштрасса о сходимости монотонной последовательности. Для этого докажем, что последовательность $y_n$ является монотонной и ограниченной.
Монотонность:
Сравним $y_{n+1}$ и $y_n$. $y_{n+1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n+1}} = y_n + \frac{1}{2^{n+1}}$. Поскольку $\frac{1}{2^{n+1}} > 0$ для любого натурального $n$, то $y_{n+1} > y_n$. Это означает, что последовательность $\{y_n\}$ является строго возрастающей.
Ограниченность:
Последовательность $y_n$ является суммой первых $n+1$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Формула суммы конечной геометрической прогрессии: $S_k = \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}$. В нашем случае $k = n+1$, поэтому: $y_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{n+1})}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}} = 2 \left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \frac{1}{2^n}$. Так как $\frac{1}{2^n} > 0$, очевидно, что $y_n < 2$ для любого $n$. Таким образом, последовательность ограничена сверху (например, числом 2).
Поскольку последовательность $\{y_n\}$ монотонно возрастает и ограничена сверху, по теореме Вейерштрасса она имеет конечный предел.
Ответ: Доказано, что последовательность имеет предел, так как она является монотонно возрастающей и ограниченной сверху.

2) Для доказательства того, что последовательность $z_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ имеет предел, воспользуемся теоремой Вейерштрасса.
Монотонность:
Рассмотрим $z_{n+1}$: $z_{n+1} = 1 + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} = z_n + \frac{1}{(n+1)^2}$. Так как $\frac{1}{(n+1)^2} > 0$ для любого $n$, то $z_{n+1} > z_n$. Последовательность $\{z_n\}$ является строго возрастающей.
Ограниченность:
Чтобы доказать ограниченность сверху, оценим каждый член суммы. Для любого $k \ge 2$, справедливо неравенство $k^2 > k(k-1)$. Следовательно, $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$. Используя это, мы можем оценить $z_n$: $z_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1 + \frac{1}{2(2-1)} + \frac{1}{3(3-1)} + \dots + \frac{1}{n(n-1)}$ $z_n < 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k-1)}$. Разложим дробь $\frac{1}{k(k-1)}$ на простейшие: $\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$. Тогда сумма является телескопической: $\sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{n}$. Таким образом, мы получаем оценку для $z_n$: $z_n < 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 2 - \frac{1}{n}$. Поскольку $2 - \frac{1}{n} < 2$, последовательность $\{z_n\}$ ограничена сверху числом 2.
Так как последовательность $\{z_n\}$ монотонно возрастает и ограничена сверху, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.
Ответ: Доказано, что последовательность имеет предел, так как она является монотонно возрастающей и ограниченной сверху.

3) Для доказательства того, что последовательность $u_n = 1 + \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 2^2} + \dots + \frac{1}{n \cdot 2^{n-1}}$ имеет предел, снова воспользуемся теоремой Вейерштрасса.
Общий член последовательности можно записать в виде суммы $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot 2^{k-1}}$.
Монотонность:
$u_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k \cdot 2^{k-1}} = u_n + \frac{1}{(n+1) \cdot 2^n}$. Поскольку дополнительный член $\frac{1}{(n+1) \cdot 2^n}$ положителен для всех $n$, то $u_{n+1} > u_n$. Последовательность $\{u_n\}$ строго возрастающая.
Ограниченность:
Оценим каждый член суммы сверху. Для любого $k \ge 1$ справедливо $k \ge 1$, значит $\frac{1}{k} \le 1$. Следовательно, $\frac{1}{k \cdot 2^{k-1}} \le \frac{1}{2^{k-1}}$. Тогда сумма $u_n$ может быть оценена сверху суммой геометрической прогрессии: $u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot 2^{k-1}} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}$. Сумма в правой части, как мы показали в пункте 1), равна $2 - \frac{1}{2^{n-2}}$ (для $n \ge 2$) и всегда меньше 2. Таким образом, $u_n < 2$ для всех $n$. Последовательность $\{u_n\}$ ограничена сверху.
Поскольку последовательность $\{u_n\}$ монотонно возрастает и ограничена сверху, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.
Ответ: Доказано, что последовательность имеет предел, так как она является монотонно возрастающей и ограниченной сверху.

4) Для доказательства того, что последовательность $v_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ имеет предел, воспользуемся теоремой о двух милиционерах (теоремой о сжатии).
Последовательность $v_n$ представляет собой сумму $n$ слагаемых вида $\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}$, где $k$ изменяется от $1$ до $n$.
Оценка снизу:
Наименьшее слагаемое в сумме соответствует наибольшему знаменателю, то есть при $k=n$. Это слагаемое равно $\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$. Заменив каждое из $n$ слагаемых этим наименьшим значением, получим оценку снизу: $v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \ge \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+n}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$.
Оценка сверху:
Наибольшее слагаемое в сумме соответствует наименьшему знаменателю, то есть при $k=1$. Это слагаемое равно $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$. Заменив каждое из $n$ слагаемых этим наибольшим значением, получим оценку сверху: $v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$.
Таким образом, мы получили двойное неравенство: $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le v_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$.
Теперь найдем пределы ограничивающих последовательностей при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$. $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2(1+\frac{1}{n^2})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$.
Поскольку последовательность $v_n$ заключена между двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же пределу (равному 1), по теореме о двух милиционерах, последовательность $\{v_n\}$ также сходится и имеет тот же предел.
Ответ: Доказано, что последовательность имеет предел, так как она сжата двумя последовательностями, сходящимися к одному и тому же числу.

6.80. Найдите площадь закрашенной фигуры (рис. 6.15).

$y = x^2$

Рис. 6.15

Закрашенная фигура на рисунке, называемая криволинейной трапецией, ограничена графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$), и прямыми $x=0$ (ось ординат) и $x=2$.

Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x)dx$

В данном случае, функция $f(x) = x^2$, а пределы интегрирования $a=0$ и $b=2$. Подставим эти значения в формулу:

$S = \int_{0}^{2} x^2 dx$

Для вычисления интеграла сначала найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = x^2$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования в найденную первообразную:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = F(2) - F(0) = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}$

Произведем вычисления:

$S = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна $\frac{8}{3}$ квадратных единиц. Это значение также можно записать в виде смешанной дроби $2\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

В заданиях 6.81–6.86 найдите указанные пределы.

6. 81.

1) $ \lim_{x\to 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}; $

2) $ \lim_{x\to -1} \frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}; $

3) $ \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x^3-64}; $

4) $ \lim_{x\to 7} \frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}. $

1) $\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$

При подстановке предельного значения $x = 8$ в выражение под знаком предела получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt[3]{8} - 2}{8 - 8} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Представим знаменатель в виде $x - 8 = (\sqrt[3]{x})^3 - 2^3$.

$x - 8 = (\sqrt[3]{x} - 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2) = (\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)$

Подставим разложенный знаменатель в исходное выражение:

$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} - 2)$, так как $x \to 8$, но $x \neq 8$:

$\lim_{x \to 8} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}$

Теперь подставим значение $x = 8$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{8^2} + 2\sqrt[3]{8} + 4} = \frac{1}{\sqrt[3]{64} + 2 \cdot 2 + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

2) $\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x} + 1}$

При подстановке $x = -1$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{-1 + 1}{\sqrt[3]{-1} + 1} = \frac{0}{-1 + 1} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим на множители числитель, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Представим числитель в виде $x + 1 = (\sqrt[3]{x})^3 + 1^3$.

$x + 1 = (\sqrt[3]{x} + 1)((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$

Подставим разложенный числитель в исходное выражение:

$\lim_{x \to -1} \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{\sqrt[3]{x} + 1}$

Сократим дробь на $(\sqrt[3]{x} + 1)$, так как $x \to -1$, но $x \neq -1$:

$\lim_{x \to -1} (\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$

Теперь подставим значение $x = -1$:

$\sqrt[3]{(-1)^2} - \sqrt[3]{-1} + 1 = \sqrt[3]{1} - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Ответ: $3$

3) $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^3 - 64}$

При подстановке $x = 4$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{4} - 2}{4^3 - 64} = \frac{2 - 2}{64 - 64} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители. Сначала используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)$

Затем разложим множитель $(x-4)$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, представив $x-4 = (\sqrt{x})^2 - 2^2$:

$x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$

Тогда знаменатель равен $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)$. Подставим это в предел:

$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)}$

Сократим дробь на $(\sqrt{x} - 2)$:

$\lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16)}$

Теперь подставим значение $x = 4$:

$\frac{1}{(\sqrt{4} + 2)(4^2 + 4 \cdot 4 + 16)} = \frac{1}{(2 + 2)(16 + 16 + 16)} = \frac{1}{4 \cdot 48} = \frac{1}{192}$

Ответ: $\frac{1}{192}$

4) $\lim_{x \to 7} \frac{2 - \sqrt{x-3}}{x^2 - 49}$

При подстановке $x = 7$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{2 - \sqrt{7-3}}{7^2 - 49} = \frac{2 - \sqrt{4}}{49 - 49} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(2 + \sqrt{x-3})$. Также разложим знаменатель по формуле разности квадратов $x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{(2 - \sqrt{x-3})(2 + \sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

В числителе применим формулу $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$\lim_{x \to 7} \frac{2^2 - (\sqrt{x-3})^2}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{4 - (x-3)}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

$\lim_{x \to 7} \frac{4 - x + 3}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{7 - x}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

Так как $7-x = -(x-7)$, сократим дробь на $(x-7)$:

$\lim_{x \to 7} \frac{-(x-7)}{(x-7)(x+7)(2 + \sqrt{x-3})} = \lim_{x \to 7} \frac{-1}{(x+7)(2 + \sqrt{x-3})}$

Теперь подставим значение $x = 7$:

$\frac{-1}{(7+7)(2 + \sqrt{7-3})} = \frac{-1}{14(2 + \sqrt{4})} = \frac{-1}{14(2+2)} = \frac{-1}{14 \cdot 4} = -\frac{1}{56}$

Ответ: $-\frac{1}{56}$