Страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.73. Подберите параметр $m$ так, чтобы функция была непрерывной в указанной точке:

1) $f(x)= \begin{cases} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}, & \text{если } x \neq 0, \\ m, & \text{если } x=0, \end{cases}$ в точке $x=0$;

2) $f(x)= \begin{cases} \frac{1-\cos x}{\sin^2 x}, & \text{если } x \neq 0, \\ m, & \text{если } x=0, \end{cases}$ в точке $x=0$.

1) Функция $f(x)$ будет непрерывной в точке $x = 0$, если предел функции в этой точке равен ее значению в этой точке, то есть $\lim_{x\to0} f(x) = f(0)$.

Согласно условию, значение функции в точке $x=0$ равно $m$, то есть $f(0) = m$.

Теперь найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$

При подстановке $x=0$ в выражение мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом: $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель на $2x$, а знаменатель на $3x$:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x}{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}$

Поскольку при $x \to 0$ также $2x \to 0$ и $3x \to 0$, то по первому замечательному пределу $\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$.

Тогда предел равен:

$\lim_{x\to0} \frac{1 \cdot 2x}{1 \cdot 3x} = \lim_{x\to0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Для непрерывности функции в точке $x = 0$ необходимо, чтобы $f(0) = \lim_{x\to0} f(x)$. Следовательно, $m = \frac{2}{3}$.

Ответ: $m = \frac{2}{3}$.

2) Аналогично предыдущему пункту, для непрерывности функции $f(x)$ в точке $x = 0$ необходимо, чтобы выполнялось равенство $\lim_{x\to0} f(x) = f(0)$.

По условию, $f(0) = m$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{\sin^2 x}$

При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$

Подставим это выражение в знаменатель предела:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}$

Поскольку в пределе $x$ стремится к нулю, но не равен ему ($x \neq 0$), то $(1 - \cos x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на этот множитель:

$\lim_{x\to0} \frac{1}{1 + \cos x}$

Теперь мы можем подставить значение $x = 0$ в полученное выражение:

$\frac{1}{1 + \cos 0} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, для обеспечения непрерывности функции в точке $x = 0$ должно выполняться условие $m = \frac{1}{2}$.

Ответ: $m = \frac{1}{2}$.

6.74. Определите функцию $y = 2^{-\frac{1}{x^2}}$ так, чтобы она была непрерывной на всей числовой оси.

Данная функция $y = 2^{-\frac{1}{x^2}}$ определена и непрерывна для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$. В точке $x=0$ знаменатель показателя степени обращается в ноль, поэтому функция в этой точке не определена и имеет разрыв.

Чтобы сделать функцию непрерывной на всей числовой оси, необходимо доопределить ее в точке разрыва $x=0$. Для этого нужно, чтобы значение функции в этой точке было равно ее пределу при $x \to 0$. Найдем этот предел: $\lim_{x \to 0} 2^{-\frac{1}{x^2}}$.

Проанализируем поведение показателя степени $-\frac{1}{x^2}$ при $x \to 0$. Так как $x^2 \to 0$ и $x^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} \to +\infty$. Соответственно, весь показатель степени $-\frac{1}{x^2}$ стремится к $-\infty$.

Теперь можем вычислить предел исходной функции. В силу непрерывности показательной функции, предел можно внести под знак функции:$L = 2^{\lim_{x \to 0} (-\frac{1}{x^2})} = 2^{-\infty} = 0$.

Поскольку предел существует, конечен и равен 0, то разрыв в точке $x=0$ является устранимым. Мы можем доопределить функцию, положив ее значение в точке $x=0$ равным этому пределу. Таким образом, функция, непрерывная на всей числовой оси, задается следующим образом:

$y(x) = \begin{cases} 2^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$

Ответ: Чтобы функция была непрерывной на всей числовой оси, ее нужно определить следующим образом: $y(x) = \begin{cases} 2^{-\frac{1}{x^2}}, & \text{если } x \neq 0 \\ 0, & \text{если } x = 0 \end{cases}$.

6.75. Подберите параметры a и b так, чтобы функция f(x) была непрерывной:

1) $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x + b, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} |x^2 - 5x + 6|, & \text{если } x > 2 \\ ax - b, & \text{если } x \le 2 \end{cases}$

1) Функция $f(x)$ задана кусочно. На интервалах $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$ она непрерывна, так как состоит из непрерывных функций: $y=ax+1$ (линейная) и $y=\sin x + b$ (сумма тригонометрической функции и константы).

Для того чтобы функция была непрерывной на всей числовой оси, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в точке "склейки" $x = \frac{\pi}{2}$.

Условие непрерывности в точке $x_0$ — это равенство односторонних пределов значению функции в этой точке: $\lim_{x\to x_0-} f(x) = \lim_{x\to x_0+} f(x) = f(x_0)$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

1. Левосторонний предел (и значение функции, так как по условию $x \le \frac{\pi}{2}$):

$f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} f(x) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} (ax+1) = a \cdot \frac{\pi}{2} + 1$.

2. Правосторонний предел (по условию $x > \frac{\pi}{2}$):

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+} f(x) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+} (\sin x + b) = \sin(\frac{\pi}{2}) + b = 1 + b$.

Приравниваем полученные выражения, чтобы обеспечить непрерывность:

$a \cdot \frac{\pi}{2} + 1 = 1 + b$.

Упрощая, получаем искомое соотношение между параметрами $a$ и $b$:

$a \cdot \frac{\pi}{2} = b$.

Таким образом, функция будет непрерывной для любой пары чисел $(a, b)$, удовлетворяющей данному условию.

Ответ: $b = a\frac{\pi}{2}$.

2) Функция $f(x)$ задана кусочно. На интервалах $(-\infty, 2]$ и $(2, +\infty)$ она непрерывна, так как состоит из непрерывных функций: $y=ax-b$ (линейная) и $y=|x^2-5x+6|$ (модуль квадратичной функции).

Для непрерывности функции $f(x)$ на всей числовой прямой нужно обеспечить ее непрерывность в точке "склейки" $x=2$.

Условие непрерывности в точке $x=2$: $\lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2+} f(x) = f(2)$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x = 2$:

1. Левосторонний предел (и значение функции, так как по условию $x \le 2$):

$f(2) = \lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2-} (ax-b) = a \cdot 2 - b = 2a - b$.

2. Правосторонний предел (по условию $x > 2$):

$\lim_{x\to 2+} f(x) = \lim_{x\to 2+} |x^2-5x+6| = |2^2 - 5 \cdot 2 + 6| = |4 - 10 + 6| = |0| = 0$.

Приравниваем полученные выражения для обеспечения непрерывности:

$2a - b = 0$.

Отсюда находим соотношение между параметрами $a$ и $b$:

$b = 2a$.

Таким образом, функция будет непрерывной для любой пары чисел $(a, b)$, удовлетворяющей данному условию.

Ответ: $b = 2a$.

6.76. При каком значении параметра $p$ функция $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+7}-4}{x^2-5x+6}, & \text{если } x \neq 3, \\ p, & \text{если } x=3 \end{cases}$ непрерывна в точке $x = 3$?

Функция $f(x)$ будет непрерывной в точке $x = 3$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Условие непрерывности функции в точке $x=a$ записывается как:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

В данном случае $a=3$. По условию, значение функции в этой точке $f(3) = p$. Таким образом, для непрерывности функции в точке $x=3$ должно выполняться равенство:

$p = \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 7} - 4}{x^2 - 5x + 6}$

Найдем значение этого предела. Прямая подстановка значения $x = 3$ в выражение под знаком предела приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{3^2 + 7} - 4}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{\sqrt{16} - 4}{9 - 15 + 6} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{x^2 + 7} + 4)$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x^2 + 7} - 4)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x^2 + 7})^2 - 4^2 = (x^2 + 7) - 16 = x^2 - 9$

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Знаменатель: $x^2 - 5x + 6$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим полученные разложения в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

Так как $x$ стремится к 3, но не равно 3, то множитель $(x - 3)$ не равен нулю, и на него можно сократить:

$\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

Теперь мы можем подставить $x = 3$ в полученное выражение, так как неопределенность устранена:

$\frac{3 + 3}{(3 - 2)(\sqrt{3^2 + 7} + 4)} = \frac{6}{1 \cdot (\sqrt{9 + 7} + 4)} = \frac{6}{\sqrt{16} + 4} = \frac{6}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Таким образом, предел функции равен $\frac{3}{4}$. Из условия непрерывности $p = \lim_{x \to 3} f(x)$ следует, что $p = \frac{3}{4}$.

Ответ: $p = \frac{3}{4}$.