Страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.65. Для того чтобы функция $y = f(x)$ была непрерывной в точке $x = x_0$, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

$f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0).$

Данное утверждение является определением непрерывности функции в точке через односторонние пределы. Разберем его подробно.

Утверждение гласит: Для того чтобы функция $y = f(x)$ была непрерывной в точке $x = x_0$, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$.

Это означает, что для непрерывности функции в точке $x_0$ должны одновременно выполняться три условия, объединенные в этом равенстве:

1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.

Это соответствует части равенства $... = f(x_0)$. Это означает, что значение $f(x_0)$ существует и является конечным числом. Если функция не определена в точке $x_0$, она не может быть в ней непрерывной.

2. Должен существовать предел функции в точке $x_0$.

Предел функции существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу ее односторонние пределы: левосторонний и правосторонний.

• Левосторонний предел: $f(x_0 - 0)$, который также обозначается как $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. Это значение, к которому стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к $x_0$ слева (т.е. $x < x_0$).
• Правосторонний предел: $f(x_0 + 0)$, который также обозначается как $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Это значение, к которому стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к $x_0$ справа (т.е. $x > x_0$).

Таким образом, условие существования предела в точке $x_0$ эквивалентно равенству $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$. Если это равенство выполняется, то общий (двусторонний) предел функции существует и равен их общему значению: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$.

3. Предел функции в точке $x_0$ должен быть равен значению функции в этой точке.

Это объединяет первые два условия. После того как мы установили, что $f(x_0)$ существует и $\lim_{x \to x_0} f(x)$ существует, для непрерывности необходимо, чтобы они были равны:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Развернув предел через односторонние пределы, мы и получаем исходное равенство:

$f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$

Геометрический смысл

Геометрически непрерывность функции в точке означает, что ее график в этой точке не имеет разрывов, "скачков" или "проколов". Когда вы ведете карандашом по графику функции, в точке непрерывности вам не нужно отрывать карандаш от бумаги. Равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ гарантирует, что ветви графика "сходятся" в одну точку при приближении к $x_0$ слева и справа. А равенство их общего значения $f(x_0)$ гарантирует, что эта точка, в которую они сходятся, и есть реальная точка на графике $(x_0, f(x_0))$, а не "дырка".

Типы разрывов (когда условие не выполняется)

• Устранимый разрыв: Предел существует ($f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$), но он не равен значению функции в этой точке, либо функция в этой точке не определена. Например, $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) \neq f(x_0)$.
• Разрыв первого рода ("скачок"): Односторонние пределы существуют и конечны, но не равны друг другу: $f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0)$.
• Разрыв второго рода: Хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным.

Таким образом, данное утверждение предоставляет полный и строгий критерий для проверки непрерывности функции в конкретной точке.

Ответ: Утверждение представляет собой определение непрерывности функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$. Оно означает, что для непрерывности необходимо и достаточно выполнение трех условий: 1) функция должна быть определена в точке $x_0$ (существует $f(x_0)$); 2) должен существовать предел функции при $x \to x_0$, что эквивалентно равенству левостороннего и правостороннего пределов ($f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$); 3) этот предел должен быть равен значению функции в этой точке ($\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$). Все три условия объединены в одном равенстве $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$.

6.66. Определите тип точек разрыва функции, если таковые имеются, и постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x-1, \text{ если } x \le 1, \\ 1-x^2, \text{ если } x > 1; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x+2, \text{ если } x < 1, \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x \ge 1; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, \text{ если } x < 0, \\ x^2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \le 1 \\ 1-x^2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Она состоит из двух элементарных функций, непрерывных на своих интервалах определения. Единственной точкой, где может быть разрыв, является точка $x=1$.
Для определения типа точки разрыва найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=1$: $f(1) = 1 - 1 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x-1) = 1-1=0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1-x^2) = 1 - 1^2 = 0$.
Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=1$ равны ($f(1-0) = f(1+0) = f(1) = 0$), функция является непрерывной в точке $x=1$.
Следовательно, функция не имеет точек разрыва.
Для построения графика:
1. При $x \le 1$ строим график прямой $y = x-1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
2. При $x > 1$ строим график параболы $y = 1-x^2$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(0, 1)$. Нас интересует ее часть справа от $x=1$. Она проходит через точки $(1, 0)$ (не включая), $(2, -3)$ и т.д.
Так как в точке $(1, 0)$ графики смыкаются, функция непрерывна.
Ответ: Точек разрыва нет. График функции представлен ниже.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Возможная точка разрыва - $x=1$.
Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=1$: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+2) = 1+2=3$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$), в точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|3-1|=2$.
Для построения графика:
1. При $x < 1$ строим график прямой $y = x+2$. График доходит до точки $(1, 3)$, которая будет выколотой.
2. При $x \ge 1$ строим график гиперболы $y = \frac{1}{x}$. График начинается с точки $(1, 1)$ и далее убывает, приближаясь к оси Ох.
Ответ: $x=1$ - точка разрыва первого рода (скачок). График функции представлен ниже.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Возможная точка разрыва - $x=0$.
Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = 0^2 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0$.
Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
Для построения графика:
1. При $x < 0$ строим график гиперболы $y = \frac{1}{x}$ (ветвь в третьей четверти). График асимптотически приближается к оси Оу, уходя в $-\infty$.
2. При $x \ge 0$ строим график параболы $y = x^2$. График начинается в точке $(0, 0)$ и идет вверх.
Ответ: $x=0$ - точка разрыва второго рода. График функции представлен ниже.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x+3}$.
Функция является рациональной. Она не определена в точках, где знаменатель равен нулю.
$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
Следовательно, $x=-3$ является точкой разрыва. Область определения функции: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Чтобы определить тип разрыва, найдем предел функции в этой точке:
$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.
Так как $x \to -3$, но $x \ne -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:
$\lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.
Поскольку предел в точке $x=-3$ существует и конечен, но функция в этой точке не определена, то $x=-3$ является точкой устранимого разрыва (разрыв первого рода).
График функции $f(x)$ совпадает с графиком функции $y = x-3$ во всех точках, кроме $x=-3$. В точке $x=-3$ на графике будет "дырка" (выколотая точка). Координаты этой точки: $(-3, -6)$.
Ответ: $x=-3$ - точка устранимого разрыва. График функции представлен ниже.

6.67. Является ли функция непрерывной в указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$, $(-\infty; +\infty);$

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$, $[2; +\infty);$

3) $f(x) = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge -1, \\ -x, \text{ если } x < -1, \end{cases} (-\infty; +\infty);$

4) $f(x) = \frac{x}{|x|}$, $(-\infty; +\infty)?$

1) Функция $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Данная функция является рациональной, то есть отношением двух многочленов: $P(x) = x$ и $Q(x) = x^2 + 1$. Рациональная функция непрерывна на всей своей области определения, то есть везде, где ее знаменатель не равен нулю.

Найдем точки, в которых знаменатель $Q(x) = x^2 + 1$ обращается в ноль, решив уравнение $x^2 + 1 = 0$.

Уравнение $x^2 = -1$ не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Следовательно, знаменатель $x^2 + 1 > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку знаменатель никогда не равен нулю, функция определена и непрерывна для всех действительных чисел.

Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на указанном промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Да, является.

2) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 1}$ задана на промежутке $[2; +\infty)$.

Эта функция является частным двух функций и будет непрерывна там, где она определена. Найдем область определения функции $f(x)$. Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

Таким образом, область определения функции: $[0; 1) \cup (1; +\infty)$. Внутри этой области функция непрерывна как композиция и частное непрерывных функций.

Рассмотрим указанный промежуток $[2; +\infty)$. Каждая точка этого промежутка принадлежит области определения функции, так как $[2; +\infty) \subset ([0; 1) \cup (1; +\infty))$. Точки, где функция не определена или имеет разрыв (то есть $x < 0$ и $x = 1$), не входят в промежуток $[2; +\infty)$.

Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна на указанном промежутке.

Ответ: Да, является.

3) Функция $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge -1 \\ -x, & \text{если } x < -1 \end{cases}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Это кусочно-заданная функция. Исследуем ее на непрерывность.

На промежутке $(-1; +\infty)$ функция задана формулой $f(x) = x$. Это линейная функция, и она непрерывна на этом промежутке.

На промежутке $(-\infty; -1)$ функция задана формулой $f(x) = -x$. Это также линейная функция, и она непрерывна на этом промежутке.

Единственной точкой, в которой непрерывность может нарушаться, является точка "склейки" $x = -1$.

Для непрерывности функции в точке $x = -1$ необходимо, чтобы существовал предел функции в этой точке и он был равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$.

Найдем значение функции в точке $x = -1$: $f(-1) = x|_{x=-1} = -1$.

Теперь найдем односторонние пределы в этой точке.

Предел справа (при $x \to -1$ и $x > -1$): $\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} x = -1$.

Предел слева (при $x \to -1$ и $x < -1$): $\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} (-x) = -(-1) = 1$.

Так как предел слева ($1$) не равен пределу справа ($-1$), то общий предел $\lim_{x \to -1} f(x)$ не существует. В точке $x=-1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Поскольку функция имеет разрыв в точке $x = -1$, она не является непрерывной на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Нет, не является.

4) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|}$ задана на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Найдем область определения данной функции. Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю. Это условие нарушается при $x = 0$.

Таким образом, функция не определена в точке $x = 0$. Согласно определению, функция не может быть непрерывной в точке, в которой она не определена.

Поскольку точка $x = 0$ принадлежит промежутку $(-\infty; +\infty)$, функция не является непрерывной на всем этом промежутке.

Рассмотрим поведение функции подробнее. Раскроем модуль:

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x} = 1, & \text{если } x > 0 \\ \frac{x}{-x} = -1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Найдем односторонние пределы в точке $x = 0$:

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1$.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1$.

Пределы слева и справа не совпадают, следовательно, предел функции в точке $x=0$ не существует. Это подтверждает, что в точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Так как функция имеет разрыв в точке $x = 0$, она не является непрерывной на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: Нет, не является.