Страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.44. При каких значениях n для последовательности $x_n = \frac{2n-3}{n}$ выполняется неравенство:

1) $|x_n - 2| < 0,1;$

2) $|x_n - 2| < 0,01?$

1) Найдем значения $n$, для которых выполняется неравенство $|x_n - 2| < 0,1$.

Подставим выражение для члена последовательности $x_n = \frac{2n-3}{n}$ в левую часть неравенства:

$|x_n - 2| = |\frac{2n-3}{n} - 2|$

Приведем выражение под знаком модуля к общему знаменателю:

$|\frac{2n-3}{n} - \frac{2n}{n}| = |\frac{2n - 3 - 2n}{n}| = |\frac{-3}{n}|$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), а значит $n > 0$. Следовательно, мы можем раскрыть модуль:

$|\frac{-3}{n}| = \frac{|-3|}{|n|} = \frac{3}{n}$

Теперь неравенство принимает вид:

$\frac{3}{n} < 0,1$

Запишем 0,1 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:

$\frac{3}{n} < \frac{1}{10}$

Так как $n$ — положительное число, мы можем умножить обе части неравенства на $10n$ (что также является положительным числом), не меняя знака неравенства:

$3 \cdot 10 < 1 \cdot n$

$30 < n$

Таким образом, неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые больше 30. Наименьшее такое натуральное число — это 31.

Ответ: $n > 30$ (для натуральных $n$, это означает $n \ge 31$).

2) Аналогично решим второе неравенство $|x_n - 2| < 0,01$.

Мы уже установили, что $|x_n - 2| = \frac{3}{n}$.

Подставим это упрощенное выражение в неравенство:

$\frac{3}{n} < 0,01$

Запишем 0,01 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{100}$:

$\frac{3}{n} < \frac{1}{100}$

Умножим обе части неравенства на положительное число $100n$:

$3 \cdot 100 < 1 \cdot n$

$300 < n$

Следовательно, неравенство выполняется для всех натуральных чисел $n$, которые больше 300. Наименьшее такое натуральное число — это 301.

Ответ: $n > 300$ (для натуральных $n$, это означает $n \ge 301$).

6.45. При каких значениях $n$ для последовательности $u_n = \frac{3n + 5}{2n + 1}$ выполняется неравенство:

1) $|u_n - 1.5| < 0.1$;

2) $|u_n - 1.5| < 0.01$?

1) $|u_n - 1,5| < 0,1$
Подставим в неравенство выражение для $n$-го члена последовательности $u_n = \frac{3n + 5}{2n + 1}$ и заменим десятичные дроби на обыкновенные: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $0,1 = \frac{1}{10}$.
$| \frac{3n + 5}{2n + 1} - \frac{3}{2} | < \frac{1}{10}$
Упростим выражение под знаком модуля, приведя дроби к общему знаменателю $2(2n + 1)$:
$| \frac{2(3n + 5) - 3(2n + 1)}{2(2n + 1)} | < \frac{1}{10}$
$| \frac{6n + 10 - 6n - 3}{4n + 2} | < \frac{1}{10}$
$| \frac{7}{4n + 2} | < \frac{1}{10}$
Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$. Следовательно, знаменатель $4n + 2$ всегда положителен. Значит, вся дробь $\frac{7}{4n + 2}$ положительна, и знак модуля можно опустить.
$\frac{7}{4n + 2} < \frac{1}{10}$
Так как обе части неравенства положительны, мы можем умножить обе части на $10(4n+2)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$7 \cdot 10 < 1 \cdot (4n + 2)$
$70 < 4n + 2$
$68 < 4n$
$n > \frac{68}{4}$
$n > 17$
Поскольку $n$ — натуральное число, неравенство выполняется для всех $n$, начиная с 18.
Ответ: при $n \ge 18$.

2) $|u_n - 1,5| < 0,01$
Это неравенство решается аналогично первому. Заменим $0,01$ на $\frac{1}{100}$.
$| \frac{3n + 5}{2n + 1} - \frac{3}{2} | < \frac{1}{100}$
Используем упрощенное выражение из предыдущего пункта:
$\frac{7}{4n + 2} < \frac{1}{100}$
Умножим обе части на $100(4n+2)$:
$7 \cdot 100 < 1 \cdot (4n + 2)$
$700 < 4n + 2$
$698 < 4n$
$n > \frac{698}{4}$
$n > 174,5$
Поскольку $n$ — натуральное число, наименьшее значение $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 175.
Ответ: при $n \ge 175$.

6.46. При каких значениях $n$ члены последовательности $y_n = n^2 - 3n$ удовлетворяют неравенству $y_n < 40$?

Для того чтобы найти значения $n$, при которых члены последовательности $y_n = n^2 - 3n$ удовлетворяют неравенству $y_n < 40$, необходимо решить данное неравенство относительно $n$.

Запишем неравенство, подставив в него формулу для $y_n$:
$n^2 - 3n < 40$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$n^2 - 3n - 40 < 0$

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $n^2 - 3n - 40 = 0$. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$.

Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.
Найдем корни уравнения:
$n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.
$n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$.

Графиком функции $f(n) = n^2 - 3n - 40$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $n^2$ положителен ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции будут отрицательными между корнями уравнения.
Таким образом, решение неравенства $n^2 - 3n - 40 < 0$ есть интервал $(-5; 8)$, то есть $-5 < n < 8$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, где $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$).
Выберем все натуральные числа, которые удовлетворяют условию $-5 < n < 8$. Такими числами являются:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

6.47 При каких значениях $n$ члены последовательности $u_n = |n^2 - 2n - 3|$ удовлетворяют неравенству $u_n \le 2$?

По условию задачи, необходимо найти все натуральные значения $n$ ($n \in \mathbb{N}$), при которых члены последовательности $u_n = |n^2 - 2n - 3|$ удовлетворяют неравенству $u_n \le 2$.

Запишем исходное неравенство: $|n^2 - 2n - 3| \le 2$

Неравенство вида $|x| \le a$ (при $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$. Применив это правило, получаем: $-2 \le n^2 - 2n - 3 \le 2$

Это двойное неравенство эквивалентно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $\begin{cases} n^2 - 2n - 3 \ge -2 \\ n^2 - 2n - 3 \le 2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1. Решим первое неравенство: $n^2 - 2n - 3 \ge -2$ $n^2 - 2n - 1 \ge 0$ Для этого найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 2n - 1 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Парабола $y = n^2 - 2n - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 - 2n - 1 \ge 0$ выполняется, когда $n$ находится вне интервала между корнями: $n \le 1 - \sqrt{2}$ или $n \ge 1 + \sqrt{2}$.

2. Решим второе неравенство: $n^2 - 2n - 3 \le 2$ $n^2 - 2n - 5 \le 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $n^2 - 2n - 5 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$. Корни уравнения: $n_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$. Парабола $y = n^2 - 2n - 5$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $n^2 - 2n - 5 \le 0$ выполняется, когда $n$ находится между корнями: $1 - \sqrt{6} \le n \le 1 + \sqrt{6}$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств, то есть найти значения $n$, удовлетворяющие обоим условиям: $(\left(n \le 1 - \sqrt{2}\right) \lor \left(n \ge 1 + \sqrt{2}\right)) \land (1 - \sqrt{6} \le n \le 1 + \sqrt{6})$ Решением этой системы является объединение двух промежутков: $[1 - \sqrt{6}, 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}, 1 + \sqrt{6}]$.

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, $n$ должно быть натуральным числом ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Оценим границы полученных промежутков: $\sqrt{2} \approx 1.414$ $\sqrt{6} \approx 2.449$ Тогда: $1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.449 = -1.449$ $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$ $1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$ $1 + \sqrt{6} \approx 1 + 2.449 = 3.449$

Таким образом, решение для $n$ принадлежит множеству $[-1.449; -0.414] \cup [2.414; 3.449]$. Выберем из этих промежутков натуральные числа. В промежутке $[-1.449; -0.414]$ нет натуральных чисел. В промежутке $[2.414; 3.449]$ есть единственное натуральное число $n=3$.

Сделаем проверку для $n=3$: $u_3 = |3^2 - 2 \cdot 3 - 3| = |9 - 6 - 3| = |0| = 0$. $0 \le 2$ — неравенство выполняется.

Ответ: 3.

6.48. Имеет ли последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ предел?

Чтобы определить, имеет ли последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ предел, необходимо проанализировать ее поведение при неограниченном возрастании номера $n$, то есть при $n \to \infty$.

Данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$. Выпишем несколько первых членов этой последовательности, чтобы наглядно увидеть тенденцию:
$a_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$
$a_2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$
$a_3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$
$a_4 = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$
...

Как видно, с ростом $n$ члены последовательности $a_n$ становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Это говорит о том, что предел, скорее всего, существует и равен 0.

Для строгого доказательства воспользуемся известной теоремой о пределе последовательности вида $b_n = q^n$. Предел такой последовательности существует и равен нулю, если модуль ее знаменателя $|q| < 1$.

В нашем случае знаменатель $q = \frac{1}{3}$. Найдем его модуль:
$|q| = \left|\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.

Так как $|q| = \frac{1}{3} < 1$, условие теоремы выполняется. Следовательно, последовательность $a_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n$ имеет предел, и он равен нулю.
Это можно записать математически:
$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0$.
Пояснение: при $n \to \infty$ знаменатель $3^n$ также стремится к бесконечности ($3^n \to \infty$), а величина, обратная бесконечно большой, стремится к нулю.
Ответ: Да, последовательность имеет предел, и он равен 0.

6.49. Докажите равенство по определению:

1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+n^2} = 0$;

2) $\lim_{n\to\infty} \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} = -\frac{3}{2}$;

3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3n-2}{4n+5} = \frac{3}{4}$;

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} = 0$.

1) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+n^2} = 0$ по определению.

Согласно определению предела последовательности, для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon > 0$ должно существовать такое натуральное число $N$, что для всех натуральных чисел $n > N$ будет выполняться неравенство $|x_n - L| < \varepsilon$.

В данном случае $x_n = \frac{1}{n+n^2}$ и предел $L = 0$.

Составим неравенство:$|\frac{1}{n+n^2} - 0| < \varepsilon$.

Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $n+n^2 > 0$. Следовательно, модуль можно опустить:$\frac{1}{n+n^2} < \varepsilon$.

Чтобы найти $N$, зависящее от $\varepsilon$, оценим выражение слева. Очевидно, что $n+n^2 > n^2$. Из этого следует, что $\frac{1}{n+n^2} < \frac{1}{n^2}$.

Если мы найдем $n$, для которых выполняется более сильное неравенство $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$, то исходное неравенство также будет выполняться.

Решим неравенство $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$:$n^2 > \frac{1}{\varepsilon}$$n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ (так как $n>0$).

Таким образом, если мы выберем $N = \lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \rceil$ (целая часть сверху), то для всех $n > N$ будет выполняться $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$, и, следовательно, $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$.

Тогда для всех $n > N$ мы имеем:$|\frac{1}{n+n^2} - 0| = \frac{1}{n+n^2} < \frac{1}{n^2} < \varepsilon$.

Это доказывает, что предел равен 0.

Ответ: Равенство доказано по определению.

2) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} = -\frac{3}{2}$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти такое натуральное число $N$, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)}$ и $L = -\frac{3}{2}$.

Рассмотрим модуль разности и преобразуем его:$|x_n - L| = |\frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} - (-\frac{3}{2})| = |\frac{n-3n^2}{2n^2+3n+1} + \frac{3}{2}| = |\frac{2(n-3n^2) + 3(2n^2+3n+1)}{2(2n^2+3n+1)}| = |\frac{2n - 6n^2 + 6n^2 + 9n + 3}{4n^2+6n+2}| = |\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2}|$.

Так как $n \ge 1$, выражение в модуле положительно, поэтому модуль можно убрать:$\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2}$.

Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \varepsilon$.

Для упрощения найдем оценку сверху для левой части.Оценим числитель сверху: $11n+3 \le 11n+3n = 14n$ (для $n \ge 1$).Оценим знаменатель снизу: $4n^2+6n+2 > 4n^2$.Тогда: $\frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \frac{14n}{4n^2} = \frac{7}{2n}$.

Теперь решим более простое неравенство $\frac{7}{2n} < \varepsilon$:$2n > \frac{7}{\varepsilon}$, что равносильно $n > \frac{7}{2\varepsilon}$.

Выберем $N = \lceil \frac{7}{2\varepsilon} \rceil$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \frac{7}{2\varepsilon}$, и, следовательно, $\frac{7}{2n} < \varepsilon$.

Таким образом, для всех $n > N$:$|\frac{n-3n^2}{(2n+1)(n+1)} - (-\frac{3}{2})| = \frac{11n + 3}{4n^2+6n+2} < \frac{7}{2n} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.

3) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{3n-2}{4n+5} = \frac{3}{4}$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ необходимо найти натуральное число $N$ такое, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{3n-2}{4n+5}$ и $L = \frac{3}{4}$.

Рассмотрим модуль разности:$|x_n - L| = |\frac{3n-2}{4n+5} - \frac{3}{4}| = |\frac{4(3n-2) - 3(4n+5)}{4(4n+5)}| = |\frac{12n - 8 - 12n - 15}{16n+20}| = |\frac{-23}{16n+20}| = \frac{23}{16n+20}$.(при $n \ge 1$ знаменатель положителен).

Требуется, чтобы выполнялось неравенство $\frac{23}{16n+20} < \varepsilon$.

Оценим дробь сверху: $16n+20 > 16n$, поэтому $\frac{23}{16n+20} < \frac{23}{16n}$.

Решим более простое неравенство $\frac{23}{16n} < \varepsilon$:$16n > \frac{23}{\varepsilon}$, что равносильно $n > \frac{23}{16\varepsilon}$.

Выберем $N = \lceil \frac{23}{16\varepsilon} \rceil$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться $n > \frac{23}{16\varepsilon}$, откуда $\frac{23}{16n} < \varepsilon$.

Следовательно, для всех $n > N$:$|\frac{3n-2}{4n+5} - \frac{3}{4}| = \frac{23}{16n+20} < \frac{23}{16n} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.

4) Нужно доказать равенство $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} = 0$ по определению.

Для любого $\varepsilon > 0$ нужно найти натуральное число $N$ такое, что для всех $n > N$ выполняется $|x_n - L| < \varepsilon$.

Здесь $x_n = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2}$ и $L = 0$. Последовательность определена для $n \ge 3$.

Рассмотрим модуль разности для $n \ge 3$:$|x_n - L| = |\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} - 0| = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2}$ (так как при $n \ge 3$ числитель и знаменатель положительны).

Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} < \varepsilon$.

Для упрощения найдем оценку сверху для дроби.Для числителя: при $n \ge 1$ выполняется $n+1 \le 2n$, откуда $\sqrt{n+1} \le \sqrt{2n}$.Для знаменателя: при $n \ge 4$ выполняется $n-2 \ge n/2$ (так как $2(n-2) = 2n-4 \ge n \iff n \ge 4$).

Таким образом, для $n \ge 4$:$\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} \le \frac{\sqrt{2n}}{n/2} = \frac{2\sqrt{2n}}{n} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}}$.

Теперь решим более простое неравенство $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$:$\sqrt{n} > \frac{2\sqrt{2}}{\varepsilon}$, что равносильно $n > (\frac{2\sqrt{2}}{\varepsilon})^2 = \frac{8}{\varepsilon^2}$.

Выберем $N = \max(4, \lceil \frac{8}{\varepsilon^2} \rceil)$.Тогда для любого $n > N$ будет выполняться и $n > 4$, и $n > \frac{8}{\varepsilon^2}$.При $n>4$ наша оценка сверху справедлива.При $n > \frac{8}{\varepsilon^2}$ выполняется $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$.

Следовательно, для всех $n > N$:$|\frac{\sqrt{n+1}}{n-2} - 0| = \frac{\sqrt{n+1}}{n-2} \le \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{n}} < \varepsilon$.

Ответ: Равенство доказано по определению.

В заданиях 6.50–6.54 найдите пределы.

6. 50.

1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1+5n}{n-2}$; 2) $\lim_{n\to\infty} \frac{5n+4}{3-2n}$; 3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3-n+2n^2}{2+n-4n^2}$;

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n+1}{3+2n-4n^2}$; 5) $\lim_{n\to\infty} \frac{4n^2-4n}{16-n^2}$; 6) $\lim_{n\to\infty} \frac{6n^2-2n}{7n^2-13}$.

1) Чтобы найти предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{1+5n}{n-2} $, мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{1+5n}{n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{5n}{n}}{\frac{n}{n}-\frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+5}{1-\frac{2}{n}} $. Поскольку при $ n \to \infty $ величины $ \frac{1}{n} $ и $ \frac{2}{n} $ стремятся к нулю, получаем: $ \frac{0+5}{1-0} = 5 $.
Ответ: $5$.

2) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+4}{3-2n} $ также имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n}+\frac{4}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5+\frac{4}{n}}{\frac{3}{n}-2} $. Так как $ \frac{4}{n} \to 0 $ и $ \frac{3}{n} \to 0 $ при $ n \to \infty $, предел равен: $ \frac{5+0}{0-2} = -\frac{5}{2} = -2.5 $.
Ответ: $-2.5$.

3) В пределе $ \lim_{n \to \infty} \frac{3-n+2n^2}{2+n-4n^2} $ старшая степень переменной - $n^2$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2n^2}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{4n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+2}{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}-4} $. Учитывая, что $ \frac{3}{n^2} \to 0 $, $ \frac{1}{n} \to 0 $ при $ n \to \infty $, получаем: $ \frac{0-0+2}{0+0-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} = -0.5 $.
Ответ: $-0.5$.

4) В пределе $ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{3+2n-4n^2} $ старшая степень переменной также $n^2$. Делим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{4n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n}-4} $. При $ n \to \infty $ дроби, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю: $ \frac{1-0+0}{0+0-4} = -\frac{1}{4} = -0.25 $.
Ответ: $-0.25$.

5) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2-4n}{16-n^2} $ делим на старшую степень $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}}{\frac{16}{n^2}-\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4-\frac{4}{n}}{\frac{16}{n^2}-1} $. Так как $ \frac{4}{n} \to 0 $ и $ \frac{16}{n^2} \to 0 $ при $ n \to \infty $, то: $ \frac{4-0}{0-1} = -4 $.
Ответ: $-4$.

6) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n}{7n^2-13} $ также делим на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}}{\frac{7n^2}{n^2}-\frac{13}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{2}{n}}{7-\frac{13}{n^2}} $. При $ n \to \infty $ члены $ \frac{2}{n} $ и $ \frac{13}{n^2} $ стремятся к нулю, поэтому: $ \frac{6-0}{7-0} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

6.51. 1) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)(n+5)}{n^2+4}; $

2) $ \lim_{n\to\infty} \frac{3(n+1)(3-n)}{4n^2+n-1}; $

3) $ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n+1}{(3n+1)^2}; $

4) $ \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3+n-3}{(2n-1)^3}; $

5) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3+2n+1}; $

6) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(3n-1)(1-2n)}{(2n+3)(n-3)}. $

1) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+5)}{n^2+4}$, сначала раскроем скобки в числителе: $(n+2)(n+5) = n^2 + 5n + 2n + 10 = n^2 + 7n + 10$. Тогда предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+7n+10}{n^2+4}$. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе, то есть на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}+\frac{10}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{4}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{7}{n}+\frac{10}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}$. Поскольку при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{7}{n}$, $\frac{10}{n^2}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем: $\frac{1+0+0}{1+0} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Рассмотрим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{3(n+1)(3-n)}{4n^2+n-1}$. Раскроем скобки в числителе: $3(n+1)(3-n) = 3(3n-n^2+3-n) = 3(-n^2+2n+3) = -3n^2+6n+9$. Предел становится: $\lim_{n \to \infty} \frac{-3n^2+6n+9}{4n^2+n-1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Делим числитель и знаменатель на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}+\frac{9}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-3+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^2}}{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}$. Так как при $n \to \infty$ все дроби с $n$ в знаменателе стремятся к нулю, получаем: $\frac{-3+0+0}{4+0-0} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{(3n+1)^2}$. Сначала раскроем скобки в знаменателе: $(3n+1)^2 = 9n^2+6n+1$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{9n^2+6n+1}$. Получили неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{9n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}$. Учитывая, что $\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ и $\frac{6}{n} \to 0$ при $n \to \infty$, получаем: $\frac{1-0+0}{9+0+0} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+n-3}{(2n-1)^3}$. Раскроем куб в знаменателе: $(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3(2n)^2(1) + 3(2n)(1)^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+n-3}{8n^3 - 12n^2 + 6n - 1}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{n}{n^3}-\frac{3}{n^3}}{\frac{8n^3}{n^3}-\frac{12n^2}{n^3}+\frac{6n}{n^3}-\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{8-\frac{12}{n}+\frac{6}{n^2}-\frac{1}{n^3}}$. При $n \to \infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю. В результате получаем: $\frac{2+0-0}{8-0+0-0} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3+2n+1}$. Раскроем скобки в числителе: $(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2+3n+2)(n+3) = n^3+3n^2+3n^2+9n+2n+6 = n^3+6n^2+11n+6$. Тогда предел равен: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+6n^2+11n+6}{n^3+2n+1}$. Имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Делим числитель и знаменатель на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}+\frac{6n^2}{n^3}+\frac{11n}{n^3}+\frac{6}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{2n}{n^3}+\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{6}{n}+\frac{11}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}$. Так как при $n \to \infty$ все дроби с $n$ в знаменателе стремятся к нулю, предел равен: $\frac{1+0+0+0}{1+0+0} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)(1-2n)}{(2n+3)(n-3)}$. Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Числитель: $(3n-1)(1-2n) = 3n - 6n^2 - 1 + 2n = -6n^2+5n-1$. Знаменатель: $(2n+3)(n-3) = 2n^2 - 6n + 3n - 9 = 2n^2-3n-9$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{-6n^2+5n-1}{2n^2-3n-9}$. Снова неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-6n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}-\frac{3n}{n^2}-\frac{9}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-6+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}-\frac{9}{n^2}}$. При $n \to \infty$ члены с $n$ в знаменателе обнуляются, и мы получаем: $\frac{-6+0-0}{2-0-0} = \frac{-6}{2} = -3$.
Ответ: $-3$.