Номер 6.51, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.51. 1) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)(n+5)}{n^2+4}; $

2) $ \lim_{n\to\infty} \frac{3(n+1)(3-n)}{4n^2+n-1}; $

3) $ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n+1}{(3n+1)^2}; $

4) $ \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3+n-3}{(2n-1)^3}; $

5) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3+2n+1}; $

6) $ \lim_{n\to\infty} \frac{(3n-1)(1-2n)}{(2n+3)(n-3)}. $

1) Чтобы найти предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+5)}{n^2+4}$, сначала раскроем скобки в числителе: $(n+2)(n+5) = n^2 + 5n + 2n + 10 = n^2 + 7n + 10$. Тогда предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+7n+10}{n^2+4}$. При $n \to \infty$ мы имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$ в знаменателе, то есть на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{7n}{n^2}+\frac{10}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{4}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{7}{n}+\frac{10}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}$. Поскольку при $n \to \infty$ слагаемые $\frac{7}{n}$, $\frac{10}{n^2}$ и $\frac{4}{n^2}$ стремятся к нулю, получаем: $\frac{1+0+0}{1+0} = 1$.
Ответ: $1$.

2) Рассмотрим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{3(n+1)(3-n)}{4n^2+n-1}$. Раскроем скобки в числителе: $3(n+1)(3-n) = 3(3n-n^2+3-n) = 3(-n^2+2n+3) = -3n^2+6n+9$. Предел становится: $\lim_{n \to \infty} \frac{-3n^2+6n+9}{4n^2+n-1}$. Это неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Делим числитель и знаменатель на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-3n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}+\frac{9}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-3+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^2}}{4+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}$. Так как при $n \to \infty$ все дроби с $n$ в знаменателе стремятся к нулю, получаем: $\frac{-3+0+0}{4+0-0} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$.

3) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{(3n+1)^2}$. Сначала раскроем скобки в знаменателе: $(3n+1)^2 = 9n^2+6n+1$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{9n^2+6n+1}$. Получили неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель на старшую степень $n$, то есть на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{9n^2}{n^2}+\frac{6n}{n^2}+\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{9+\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}$. Учитывая, что $\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ и $\frac{6}{n} \to 0$ при $n \to \infty$, получаем: $\frac{1-0+0}{9+0+0} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+n-3}{(2n-1)^3}$. Раскроем куб в знаменателе: $(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3(2n)^2(1) + 3(2n)(1)^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n^3+n-3}{8n^3 - 12n^2 + 6n - 1}$. Это неопределенность типа $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^3}{n^3}+\frac{n}{n^3}-\frac{3}{n^3}}{\frac{8n^3}{n^3}-\frac{12n^2}{n^3}+\frac{6n}{n^3}-\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2+\frac{1}{n^2}-\frac{3}{n^3}}{8-\frac{12}{n}+\frac{6}{n^2}-\frac{1}{n^3}}$. При $n \to \infty$ все слагаемые, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю. В результате получаем: $\frac{2+0-0}{8-0+0-0} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

5) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3+2n+1}$. Раскроем скобки в числителе: $(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2+3n+2)(n+3) = n^3+3n^2+3n^2+9n+2n+6 = n^3+6n^2+11n+6$. Тогда предел равен: $\lim_{n \to \infty} \frac{n^3+6n^2+11n+6}{n^3+2n+1}$. Имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Делим числитель и знаменатель на $n^3$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}+\frac{6n^2}{n^3}+\frac{11n}{n^3}+\frac{6}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}+\frac{2n}{n^3}+\frac{1}{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{6}{n}+\frac{11}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}$. Так как при $n \to \infty$ все дроби с $n$ в знаменателе стремятся к нулю, предел равен: $\frac{1+0+0+0}{1+0+0} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Вычислим предел $\lim_{n \to \infty} \frac{(3n-1)(1-2n)}{(2n+3)(n-3)}$. Раскроем скобки в числителе и знаменателе. Числитель: $(3n-1)(1-2n) = 3n - 6n^2 - 1 + 2n = -6n^2+5n-1$. Знаменатель: $(2n+3)(n-3) = 2n^2 - 6n + 3n - 9 = 2n^2-3n-9$. Предел принимает вид: $\lim_{n \to \infty} \frac{-6n^2+5n-1}{2n^2-3n-9}$. Снова неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{-6n^2}{n^2}+\frac{5n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}-\frac{3n}{n^2}-\frac{9}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{-6+\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}-\frac{9}{n^2}}$. При $n \to \infty$ члены с $n$ в знаменателе обнуляются, и мы получаем: $\frac{-6+0-0}{2-0-0} = \frac{-6}{2} = -3$.
Ответ: $-3$.