Номер 6.50, страница 182 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В заданиях 6.50–6.54 найдите пределы.

6. 50.

1) $\lim_{n\to\infty} \frac{1+5n}{n-2}$; 2) $\lim_{n\to\infty} \frac{5n+4}{3-2n}$; 3) $\lim_{n\to\infty} \frac{3-n+2n^2}{2+n-4n^2}$;

4) $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n+1}{3+2n-4n^2}$; 5) $\lim_{n\to\infty} \frac{4n^2-4n}{16-n^2}$; 6) $\lim_{n\to\infty} \frac{6n^2-2n}{7n^2-13}$.

1) Чтобы найти предел $ \lim_{n \to \infty} \frac{1+5n}{n-2} $, мы имеем дело с неопределенностью вида $ \frac{\infty}{\infty} $. Для ее раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $n$, то есть на $n$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{1+5n}{n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+\frac{5n}{n}}{\frac{n}{n}-\frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+5}{1-\frac{2}{n}} $. Поскольку при $ n \to \infty $ величины $ \frac{1}{n} $ и $ \frac{2}{n} $ стремятся к нулю, получаем: $ \frac{0+5}{1-0} = 5 $.
Ответ: $5$.

2) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+4}{3-2n} $ также имеем неопределенность $ \frac{\infty}{\infty} $. Разделим числитель и знаменатель на $n$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5n}{n}+\frac{4}{n}}{\frac{3}{n}-\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5+\frac{4}{n}}{\frac{3}{n}-2} $. Так как $ \frac{4}{n} \to 0 $ и $ \frac{3}{n} \to 0 $ при $ n \to \infty $, предел равен: $ \frac{5+0}{0-2} = -\frac{5}{2} = -2.5 $.
Ответ: $-2.5$.

3) В пределе $ \lim_{n \to \infty} \frac{3-n+2n^2}{2+n-4n^2} $ старшая степень переменной - $n^2$. Разделим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{2n^2}{n^2}}{\frac{2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{4n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+2}{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}-4} $. Учитывая, что $ \frac{3}{n^2} \to 0 $, $ \frac{1}{n} \to 0 $ при $ n \to \infty $, получаем: $ \frac{0-0+2}{0+0-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} = -0.5 $.
Ответ: $-0.5$.

4) В пределе $ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n+1}{3+2n-4n^2} $ старшая степень переменной также $n^2$. Делим числитель и знаменатель на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}-\frac{n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{4n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{3}{n^2}+\frac{2}{n}-4} $. При $ n \to \infty $ дроби, содержащие $n$ в знаменателе, стремятся к нулю: $ \frac{1-0+0}{0+0-4} = -\frac{1}{4} = -0.25 $.
Ответ: $-0.25$.

5) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2-4n}{16-n^2} $ делим на старшую степень $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}}{\frac{16}{n^2}-\frac{n^2}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4-\frac{4}{n}}{\frac{16}{n^2}-1} $. Так как $ \frac{4}{n} \to 0 $ и $ \frac{16}{n^2} \to 0 $ при $ n \to \infty $, то: $ \frac{4-0}{0-1} = -4 $.
Ответ: $-4$.

6) Для предела $ \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-2n}{7n^2-13} $ также делим на $n^2$: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{6n^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}}{\frac{7n^2}{n^2}-\frac{13}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{2}{n}}{7-\frac{13}{n^2}} $. При $ n \to \infty $ члены $ \frac{2}{n} $ и $ \frac{13}{n^2} $ стремятся к нулю, поэтому: $ \frac{6-0}{7-0} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $\frac{6}{7}$.