Номер 6.56, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.56. Последовательности $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ и $\{c_n\}$ удовлетворяют условиям $a_n \le c_n \le b_n$ и $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = a$. Покажите, что $\lim_{n \to \infty} c_n = a$.

Это правило нахождения предела в шутку называют «правилом двух полицейских».

Данное утверждение известно как теорема о двух милиционерах (или теорема о сжатой последовательности). Для её доказательства воспользуемся формальным определением предела последовательности. Нам необходимо показать, что для любого сколь угодно малого положительного числа $\varepsilon$ найдется такой номер $N$, что для всех $n > N$ будет выполняться неравенство $|c_n - a| < \varepsilon$.

Из условия, что $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, следует, что по определению предела для любого $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N_1$, что для всех $n > N_1$ выполняется неравенство $|a_n - a| < \varepsilon$. Раскрывая модуль, получаем $a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon$. Из этого нам важна левая часть: $a - \varepsilon < a_n$.

Аналогично, из условия $\lim_{n \to \infty} b_n = a$ следует, что для того же $\varepsilon > 0$ существует такой номер $N_2$, что для всех $n > N_2$ выполняется неравенство $|b_n - a| < \varepsilon$, что эквивалентно $a - \varepsilon < b_n < a + \varepsilon$. Из этого нам важна правая часть: $b_n < a + \varepsilon$.

Пусть $N = \max(N_1, N_2)$. Тогда для любого номера $n > N$ будут выполняться оба условия одновременно. То есть, для всех $n > N$ мы имеем:

1. $a - \varepsilon < a_n$

2. $b_n < a + \varepsilon$

Также по условию задачи для любого $n$ выполняется $a_n \le c_n \le b_n$.

Теперь объединим эти неравенства для всех $n > N$:

$a - \varepsilon < a_n \le c_n \le b_n < a + \varepsilon$

Из этой цепочки неравенств следует, что для всех $n > N$ выполняется:

$a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon$

Это неравенство эквивалентно $|c_n - a| < \varepsilon$.

Таким образом, мы показали, что для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N$ (равный $\max(N_1, N_2)$), такой, что для всех $n > N$ выполняется неравенство $|c_n - a| < \varepsilon$. Это в точности соответствует определению предела последовательности. Следовательно, предел последовательности $\{c_n\}$ существует и равен $a$.

Ответ: Утверждение доказано. Из условий $a_n \le c_n \le b_n$ и $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = a$ по определению предела последовательности следует, что $\lim_{n \to \infty} c_n = a$.