Номер 6.58, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.58. Найдите предел:

1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + 2^{-n}}{2 - 3^{-n}}$;

2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2^{-n} + 3 \cdot 5^{-n}}{7 + 3^{-n} + 7^{-n}}$;

3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 5^n}{5^{n+1}}$;

4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n + 4^n}{4^{n+1} + 3}$.

1) Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} \frac{3 + 2^{-n}}{2 - 3^{-n}}$ воспользуемся свойством показательных функций. При $n \to \infty$ выражения вида $a^{-n}$, где $a > 1$, стремятся к нулю, так как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
В нашем случае, $\lim_{n \to \infty} 2^{-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$ и $\lim_{n \to \infty} 3^{-n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} = 0$.
Подставим эти предельные значения в исходное выражение:
$\lim_{n \to \infty} \frac{3 + 2^{-n}}{2 - 3^{-n}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

2) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2^{-n} + 3 \cdot 5^{-n}}{7 + 3^{-n} + 7^{-n}}$.
Аналогично предыдущему пункту, все слагаемые с отрицательными степенями $n$ стремятся к нулю при $n \to \infty$:
$\lim_{n \to \infty} 2^{-n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} 5^{-n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} 3^{-n} = 0$
$\lim_{n \to \infty} 7^{-n} = 0$
Подставляя эти значения, получаем:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2^{-n} + 3 \cdot 5^{-n}}{7 + 3^{-n} + 7^{-n}} = \frac{1 + 0 + 3 \cdot 0}{7 + 0 + 0} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

3) Для нахождения предела $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 5^n}{5^{n+1}}$ мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель на член с наибольшим основанием в старшей степени. В данном случае это $5^n$.
Сначала преобразуем знаменатель: $5^{n+1} = 5 \cdot 5^n$.
Теперь разделим числитель и знаменатель на $5^n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 5^n}{5 \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{5^n} + \frac{5^n}{5^n}}{\frac{5 \cdot 5^n}{5^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{5})^n + 1}{5}$.
Так как основание степени $\frac{2}{5}$ меньше 1, то при $n \to \infty$ выражение $(\frac{2}{5})^n$ стремится к нулю: $\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{5})^n = 0$.
Подставляем это значение в предел:
$\frac{0 + 1}{5} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

4) Найдем предел $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n + 4^n}{4^{n+1} + 3}$.
Здесь также имеем неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$. Разделим числитель и знаменатель на член с наибольшим основанием в старшей степени, то есть на $4^n$.
Преобразуем знаменатель: $4^{n+1} = 4 \cdot 4^n$.
Разделим числитель и знаменатель на $4^n$:
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n + 4^n}{4 \cdot 4^n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{4^n} + \frac{3^n}{4^n} + \frac{4^n}{4^n}}{\frac{4 \cdot 4^n}{4^n} + \frac{3}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{4})^n + (\frac{3}{4})^n + 1}{4 + \frac{3}{4^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n + (\frac{3}{4})^n + 1}{4 + 3 \cdot (\frac{1}{4})^n}$.
Поскольку основания степеней $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$ меньше 1, их значения при $n \to \infty$ стремятся к нулю:
$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$
$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0$
$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4})^n = 0$
Подставляя эти значения, получаем:
$\frac{0 + 0 + 1}{4 + 3 \cdot 0} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.