Номер 6.63, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.63. Докажите, что уравнение имеет корень в указанном отрезке:

1) $ \sin x + 2x = 0, \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]; $

2) $ \cos x + 3x = 0, x \in [-\pi; 0]; $

3) $ \cos x - \sqrt{x} = 0, x \in [0; \pi]; $

4) $ \operatorname{tg} x + x - \frac{1}{2} = 0, x \in \left[ 0; \frac{\pi}{4} \right]. $

1) Для доказательства существования корня уравнения $\sin x + 2x = 0$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, введем функцию $f(x) = \sin x + 2x$. Эта функция является непрерывной на всей числовой прямой как сумма двух непрерывных функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x$. Следовательно, она непрерывна и на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:$f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 - \pi$.$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot (\frac{\pi}{2}) = 1 + \pi$.Поскольку $f(-\frac{\pi}{2}) = -1 - \pi < 0$ и $f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \pi > 0$, то есть функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то согласно теореме о промежуточном значении (следствию из теоремы Больцано-Коши) существует хотя бы одна точка $c \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет корень на указанном отрезке.
Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + 3x$ на отрезке $[-\pi; 0]$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, так как является суммой непрерывных функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = 3x$. Следовательно, она непрерывна и на отрезке $[-\pi; 0]$. Вычислим значения функции на концах отрезка:$f(-\pi) = \cos(-\pi) + 3 \cdot (-\pi) = -1 - 3\pi$.$f(0) = \cos(0) + 3 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.Так как $f(-\pi) = -1 - 3\pi < 0$ и $f(0) = 1 > 0$, функция на концах отрезка принимает значения разных знаков. По теореме о промежуточном значении, на интервале $(-\pi; 0)$ существует точка $c$, такая что $f(c) = 0$. Таким образом, уравнение $\cos x + 3x = 0$ имеет корень на отрезке $[-\pi; 0]$.
Ответ: Доказано.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; \pi]$. Область определения этой функции $x \ge 0$. На этой области функция является непрерывной как разность двух непрерывных функций: $y_1 = \cos x$ (непрерывна для всех $x$) и $y_2 = \sqrt{x}$ (непрерывна для $x \ge 0$). Таким образом, функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0; \pi]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:$f(0) = \cos(0) - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1$.$f(\pi) = \cos(\pi) - \sqrt{\pi} = -1 - \sqrt{\pi}$.Поскольку $f(0) = 1 > 0$ и $f(\pi) = -1 - \sqrt{\pi} < 0$, значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, существует корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(0; \pi)$, а значит, и на отрезке $[0; \pi]$.
Ответ: Доказано.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \tg x + x - \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$. Функция $y_1 = \tg x$ непрерывна на всех интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ - целое число. Функция $y_2 = x - \frac{1}{2}$ непрерывна на всей числовой прямой. Отрезок $[0; \frac{\pi}{4}]$ полностью содержится в интервале непрерывности тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, функция $f(x)$ как сумма непрерывных функций непрерывна на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$. Вычислим значения функции на концах отрезка:$f(0) = \tg(0) + 0 - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -0.5$.$f(\frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$.Так как $f(0) = -0.5 < 0$ и $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} > 0$, то есть функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Согласно теореме о промежуточном значении, существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(0; \frac{\pi}{4})$, а значит, и на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: Доказано.