Страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение непрерывности функции в точке $x_0$. Сформулируйте все три разновидности определения непрерывности функции и поясните связь между ними.

2. Какими свойствами обладает функция, непрерывная на отрезке? Поясните их смысл.

3. Какое из понятий является более общим: существование предела функции в точке $x = x_0$ или непрерывность функции в точке $x = x_0$? Почему?

1. Дайте определение непрерывности функции в точке x₀. Сформулируйте все три разновидности определения непрерывности функции и поясните связь между ними.

Непрерывность функции в точке — это свойство функции, говорящее об отсутствии «скачков» или «разрывов» в этой точке. Существует три эквивалентных определения непрерывности функции $f(x)$ в точке $x_0$. Предполагается, что функция определена в некоторой окрестности точки $x_0$.

Определение 1 (на языке «эпсилон-дельта», или по Коши)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ найдётся такое положительное число $\delta$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

Формально: $ \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \forall x, |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $.

Определение 2 (на языке последовательностей, или по Гейне)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$ (где $x_n$ принадлежат области определения функции), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$.

Формально: $ \forall \{x_n\} \text{ такой, что } \lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0) $.

Определение 3 (через предел)

Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке.

Это определение подразумевает выполнение трёх условий:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$.

2. Существует конечный предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $.

Связь между определениями

Все три определения эквивалентны. Определение по Коши и определение по Гейне являются двумя эквивалентными определениями предела функции, и в данном случае они применяются к ситуации, когда предел равен $f(x_0)$. Определение 3 является наиболее кратким и удобным для практического применения. Оно по сути является следствием первых двух и утверждает, что для непрерывной функции можно менять местами знак предела и знак функции: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(\lim_{x \to x_0} x) $.

Ответ: Существует три эквивалентных определения непрерывности функции в точке $x_0$: 1) на языке «эпсилон-дельта» (по Коши), 2) на языке последовательностей (по Гейне), и 3) через равенство предела функции в точке значению функции в этой точке ($ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $). Все они описывают одно и то же свойство отсутствия разрыва у функции в данной точке.

2. Какими свойствами обладает функция, непрерывная на отрезке? Поясните их смысл.

Функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$, обладает тремя ключевыми свойствами, которые известны как теоремы Вейерштрасса и Кантора.

1. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности и достижении экстремумов)

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она ограничена на этом отрезке и достигает на нём своих точной верхней и точной нижней граней (то есть своего наибольшего и наименьшего значений).

Смысл: График такой функции на отрезке не уходит в бесконечность, то есть он заключен в горизонтальной полосе. Более того, на этом отрезке обязательно найдутся точки, в которых функция принимает максимальное и минимальное значения. У графика есть самая высокая и самая низкая точки.

2. Вторая теорема Вейерштрасса (теорема о промежуточном значении, или теорема Больцано-Коши)

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она принимает на этом отрезке все промежуточные значения между $f(a)$ и $f(b)$. То есть для любого числа $C$, такого что $f(a) \le C \le f(b)$ (или $f(b) \le C \le f(a)$), найдётся хотя бы одна точка $c \in [a, b]$, в которой $f(c) = C$.

Смысл: График непрерывной функции является сплошной линией. Его нельзя нарисовать от начальной точки $(a, f(a))$ до конечной $(b, f(b))$, не отрывая карандаша от бумаги. Это означает, что он пересечёт любую горизонтальную прямую, расположенную между уровнями $y = f(a)$ и $y = f(b)$. Как следствие, если $f(a)$ и $f(b)$ имеют разные знаки, то на интервале $(a, b)$ существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.

3. Теорема Кантора о равномерной непрерывности

Формулировка: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то она равномерно непрерывна на нём.

Смысл: Равномерная непрерывность — это более сильное свойство, чем просто непрерывность. Оно означает, что скорость изменения функции на отрезке контролируема. Для любой заданной малой величины $\epsilon$ можно найти такую $\delta$, которая будет "работать" для любых двух точек на всем отрезке, а не только для одной конкретной точки и её окрестности. Это гарантирует отсутствие на отрезке участков с неограниченно растущей крутизной.

Ответ: Функция, непрерывная на отрезке: 1) ограничена и достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений; 2) принимает все промежуточные значения между значениями на концах отрезка; 3) является равномерно непрерывной на этом отрезке.

3. Какое из понятий является более общим: существование предела функции в точке x = x₀ или непрерывность функции в точке x = x₀? Почему?

Более общим понятием является существование предела функции в точке $x = x_0$.

Почему:

Непрерывность функции $f(x)$ в точке $x_0$ является более строгим требованием. Для непрерывности необходимо, чтобы выполнялись одновременно три условия:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$.

2. Существует конечный предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

3. Предел равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Для существования предела достаточно выполнения только второго условия. Таким образом, функция может иметь предел в точке, но не быть в ней непрерывной. Это возможно в следующих случаях:

• Функция не определена в точке $x_0$. Например, функция $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. В точке $x_0 = 2$ она не определена, но предел в этой точке существует и равен $\lim_{x \to 2} (x+2) = 4$. Предел есть, а непрерывности нет.

• Значение функции в точке не совпадает с пределом (устранимый разрыв). Например, рассмотрим функцию $g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$. Предел этой функции в точке $x_0 = 0$ существует и равен $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$. Однако значение функции в этой точке $g(0) = 0$. Так как $1 \neq 0$, функция не является непрерывной в точке $0$, хотя предел в ней существует.

Из этого следует, что если функция непрерывна в точке, то у нее обязательно есть предел в этой точке. Однако обратное неверно: наличие предела не гарантирует непрерывности. Следовательно, понятие существования предела является более общим, так как оно охватывает как непрерывные функции, так и функции с устранимым разрывом.

Ответ: Более общим понятием является существование предела, так как из непрерывности функции в точке следует существование предела в этой точке, но из существования предела не следует непрерывность (функция может быть не определена в точке или её значение в точке может не совпадать с пределом).

6.61. Докажите непрерывность функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$:

1) $f(x) = 5x - 3$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 2x^2 + x - 3$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$, $x_0 = -1$;

4) $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x$, $x_0 = 4$.

1) $f(x) = 5x - 3, x_0 = 1$

Для доказательства непрерывности функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$ необходимо проверить выполнение трех условий:

1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.
Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.
Функция определена в данной точке.

2. Должен существовать предел функции при $x \to x_0$.
Найдем предел функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (5x - 3)$.
Так как функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, и предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.
Предел существует.

3. Значение предела должно быть равно значению функции в этой точке.
Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 2$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
Условие $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ выполняется.

Поскольку все три условия выполнены, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Ответ: Функция $f(x) = 5x - 3$ непрерывна в точке $x_0 = 1$.

2) $f(x) = 2x^2 + x - 3, x_0 = -2$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = -2$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) - 3 = 2 \cdot 4 - 2 - 3 = 8 - 5 = 3$.
Функция определена в точке $x_0 = -2$.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$:
$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (2x^2 + x - 3)$.
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Предел находим прямой подстановкой:
$\lim_{x \to -2} (2x^2 + x - 3) = 2(-2)^2 + (-2) - 3 = 3$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = 3$ и $\lim_{x \to -2} f(x) = 3$.
Условие $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2)$ выполняется.

Так как все условия непрерывности выполнены, функция непрерывна в точке $x_0 = -2$.

Ответ: Функция $f(x) = 2x^2 + x - 3$ непрерывна в точке $x_0 = -2$.

3) $f(x) = \frac{x-3}{x+2}, x_0 = -1$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = -1$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.
Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения функции.
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(-1) = \frac{-1-3}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$.
Функция определена в точке $x_0 = -1$.

2. Найдем предел функции при $x \to -1$:
$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x+2}$.
Так как точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения рациональной функции, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1-3}{-1+2} = -4$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = -4$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = -4$.
Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$ выполняется.

Все условия выполнены, следовательно, функция непрерывна в точке $x_0 = -1$.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ непрерывна в точке $x_0 = -1$.

4) $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x, x_0 = 4$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = 4$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Точка $x_0 = 4$ принадлежит области определения функции ($4 \ge 3$).
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(4) = \sqrt{4-3} + 2 \cdot 4 = \sqrt{1} + 8 = 1 + 8 = 9$.
Функция определена в точке $x_0 = 4$.

2. Найдем предел функции при $x \to 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 2x)$.
Так как точка $x_0 = 4$ является внутренней точкой области определения, предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 2x) = \sqrt{4-3} + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = 9$ и $\lim_{x \to 4} f(x) = 9$.
Условие $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$ выполняется.

Все условия непрерывности выполнены, значит, функция непрерывна в точке $x_0 = 4$.

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x$ непрерывна в точке $x_0 = 4$.

6.62. Покажите непрерывность функции, используя все три определения:

1) $f(x) = x^2 + 3, x_0 = 2;$

2) $f(x) = \frac{1}{x-5}, (x \neq 5), x_0 = 3.$

1) $f(x) = x^2 + 3, x_0 = 2$

Для того чтобы показать непрерывность функции в точке $x_0 = 2$, мы воспользуемся тремя основными определениями непрерывности. Сначала найдем значение функции в данной точке: $f(2) = 2^2 + 3 = 7$.

Первое определение (в терминах пределов)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если предел функции при $x$, стремящемся к $x_0$, существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Вычислим предел функции $f(x) = x^2 + 3$ при $x \to 2$:

$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3) = \lim_{x \to 2} x^2 + \lim_{x \to 2} 3 = 2^2 + 3 = 7$.

Так как $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$ и $f(2) = 7$, то равенство $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ выполняется. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ согласно этому определению.

Второе определение (на языке $\epsilon$-$\delta$, по Коши)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любого положительного числа $\epsilon$ ($\epsilon > 0$) можно найти такое положительное число $\delta$ ($\delta > 0$), что для всех $x$, удовлетворяющих условию $|x - x_0| < \delta$, выполняется неравенство $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$.

Для нашей функции и точки $x_0=2$ нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что из $|x - 2| < \delta$ следует $|(x^2 + 3) - 7| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|f(x) - f(2)|$:

$|f(x) - f(2)| = |(x^2 + 3) - 7| = |x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2| \cdot |x+2|$.

Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки $x_0=2$, мы можем ограничить $x$ небольшой окрестностью этой точки. Например, выберем $\delta \le 1$. Тогда из $|x-2| < 1$ следует, что $1 < x < 3$. В этом интервале для сомножителя $|x+2|$ справедлива оценка: $3 < x+2 < 5$, то есть $|x+2| < 5$.

Тогда $|f(x) - f(2)| = |x-2| \cdot |x+2| < 5 \cdot |x-2|$.

Мы хотим, чтобы $|f(x) - f(2)| < \epsilon$. Для этого достаточно, чтобы $5 \cdot |x-2| < \epsilon$, что эквивалентно $|x-2| < \epsilon/5$.

Таким образом, мы должны удовлетворить двум условиям для $\delta$: $\delta \le 1$ и $\delta \le \epsilon/5$. Мы можем выбрать $\delta = \min(1, \epsilon/5)$. Такое $\delta > 0$ существует для любого $\epsilon > 0$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ по определению Коши.

Третье определение (на языке последовательностей, по Гейне)

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, если для любой последовательности $\{x_n\}$, сходящейся к $x_0$ (т.е. $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$), соответствующая последовательность значений функции $\{f(x_n)\}$ сходится к $f(x_0)$ (т.е. $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0)$).

Пусть $\{x_n\}$ – произвольная последовательность, такая что $\lim_{n \to \infty} x_n = 2$.

Найдем предел последовательности значений функции $f(x_n) = x_n^2 + 3$:

$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} (x_n^2 + 3) = (\lim_{n \to \infty} x_n)^2 + 3 = 2^2 + 3 = 7$.

Так как $f(2) = 7$, мы получили, что $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(2)$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=2$ по определению Гейне.

Ответ: Непрерывность функции $f(x) = x^2 + 3$ в точке $x_0 = 2$ доказана с использованием трех определений.

2) $f(x) = \frac{1}{x-5}, (x \neq 5), x_0 = 3$

Покажем непрерывность функции в точке $x_0 = 3$. Функция определена в этой точке, так как $3 \neq 5$. Найдем значение функции: $f(3) = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Первое определение (в терминах пределов)

Проверим выполнение равенства $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Вычислим предел функции $f(x) = \frac{1}{x-5}$ при $x \to 3$:

$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{\lim_{x \to 3}(x-5)} = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку $\lim_{x \to 3} f(x) = -1/2$ и $f(3) = -1/2$, равенство выполняется. Функция непрерывна в точке $x_0=3$.

Второе определение (на языке $\epsilon$-$\delta$, по Коши)

Нужно показать, что для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что из $|x - 3| < \delta$ следует $|\frac{1}{x-5} - (-\frac{1}{2})| < \epsilon$.

Преобразуем выражение $|f(x) - f(3)|$:

$|f(x) - f(3)| = \left|\frac{1}{x-5} + \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2 + (x-5)}{2(x-5)}\right| = \left|\frac{x-3}{2(x-5)}\right| = \frac{|x-3|}{2|x-5|}$.

Оценим знаменатель $|x-5|$ в окрестности точки $x_0=3$. Выберем $\delta \le 1$. Тогда из $|x-3| < 1$ следует, что $2 < x < 4$. Для этих $x$ выражение $x-5$ находится в интервале $(-3, -1)$. Следовательно, $|x-5| > 1$, а $\frac{1}{|x-5|} < 1$.

Тогда для $|f(x) - f(3)|$ получаем оценку:

$|f(x) - f(3)| = \frac{|x-3|}{2|x-5|} < \frac{|x-3|}{2 \cdot 1} = \frac{|x-3|}{2}$.

Чтобы выполнялось неравенство $|f(x) - f(3)| < \epsilon$, достаточно, чтобы $\frac{|x-3|}{2} < \epsilon$, то есть $|x-3| < 2\epsilon$.

Итак, для любого $\epsilon > 0$ мы можем выбрать $\delta = \min(1, 2\epsilon)$. Такое $\delta > 0$ существует. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=3$ по определению Коши.

Третье определение (на языке последовательностей, по Гейне)

Пусть $\{x_n\}$ – произвольная последовательность, такая что $\lim_{n \to \infty} x_n = 3$.

Найдем предел последовательности значений функции $f(x_n) = \frac{1}{x_n-5}$:

$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x_n-5} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}(x_n-5)} = \frac{1}{(\lim_{n \to \infty} x_n) - 5} = \frac{1}{3-5} = -\frac{1}{2}$.

Так как $f(3) = -1/2$, мы получили, что $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(3)$. Следовательно, функция непрерывна в точке $x_0=3$ по определению Гейне.

Ответ: Непрерывность функции $f(x) = \frac{1}{x-5}$ в точке $x_0 = 3$ доказана с использованием трех определений.

6.63. Докажите, что уравнение имеет корень в указанном отрезке:

1) $ \sin x + 2x = 0, \left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]; $

2) $ \cos x + 3x = 0, x \in [-\pi; 0]; $

3) $ \cos x - \sqrt{x} = 0, x \in [0; \pi]; $

4) $ \operatorname{tg} x + x - \frac{1}{2} = 0, x \in \left[ 0; \frac{\pi}{4} \right]. $

1) Для доказательства существования корня уравнения $\sin x + 2x = 0$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, введем функцию $f(x) = \sin x + 2x$. Эта функция является непрерывной на всей числовой прямой как сумма двух непрерывных функций: $y_1 = \sin x$ и $y_2 = 2x$. Следовательно, она непрерывна и на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:$f(-\frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = -1 - \pi$.$f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) + 2 \cdot (\frac{\pi}{2}) = 1 + \pi$.Поскольку $f(-\frac{\pi}{2}) = -1 - \pi < 0$ и $f(\frac{\pi}{2}) = 1 + \pi > 0$, то есть функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то согласно теореме о промежуточном значении (следствию из теоремы Больцано-Коши) существует хотя бы одна точка $c \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, в которой $f(c) = 0$. Это означает, что уравнение имеет корень на указанном отрезке.
Ответ: Доказано.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + 3x$ на отрезке $[-\pi; 0]$. Эта функция непрерывна на всей числовой прямой, так как является суммой непрерывных функций $y_1 = \cos x$ и $y_2 = 3x$. Следовательно, она непрерывна и на отрезке $[-\pi; 0]$. Вычислим значения функции на концах отрезка:$f(-\pi) = \cos(-\pi) + 3 \cdot (-\pi) = -1 - 3\pi$.$f(0) = \cos(0) + 3 \cdot 0 = 1 + 0 = 1$.Так как $f(-\pi) = -1 - 3\pi < 0$ и $f(0) = 1 > 0$, функция на концах отрезка принимает значения разных знаков. По теореме о промежуточном значении, на интервале $(-\pi; 0)$ существует точка $c$, такая что $f(c) = 0$. Таким образом, уравнение $\cos x + 3x = 0$ имеет корень на отрезке $[-\pi; 0]$.
Ответ: Доказано.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \sqrt{x}$ на отрезке $[0; \pi]$. Область определения этой функции $x \ge 0$. На этой области функция является непрерывной как разность двух непрерывных функций: $y_1 = \cos x$ (непрерывна для всех $x$) и $y_2 = \sqrt{x}$ (непрерывна для $x \ge 0$). Таким образом, функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[0; \pi]$. Найдем значения функции на концах этого отрезка:$f(0) = \cos(0) - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1$.$f(\pi) = \cos(\pi) - \sqrt{\pi} = -1 - \sqrt{\pi}$.Поскольку $f(0) = 1 > 0$ и $f(\pi) = -1 - \sqrt{\pi} < 0$, значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки. Следовательно, по теореме о промежуточном значении, существует корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(0; \pi)$, а значит, и на отрезке $[0; \pi]$.
Ответ: Доказано.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \tg x + x - \frac{1}{2}$ на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$. Функция $y_1 = \tg x$ непрерывна на всех интервалах вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k$ - целое число. Функция $y_2 = x - \frac{1}{2}$ непрерывна на всей числовой прямой. Отрезок $[0; \frac{\pi}{4}]$ полностью содержится в интервале непрерывности тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, функция $f(x)$ как сумма непрерывных функций непрерывна на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$. Вычислим значения функции на концах отрезка:$f(0) = \tg(0) + 0 - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -0.5$.$f(\frac{\pi}{4}) = \tg(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = 1 + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$.Так как $f(0) = -0.5 < 0$ и $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} > 0$, то есть функция принимает на концах отрезка значения разных знаков. Согласно теореме о промежуточном значении, существует по крайней мере один корень уравнения $f(x)=0$ на интервале $(0; \frac{\pi}{4})$, а значит, и на отрезке $[0; \frac{\pi}{4}]$.
Ответ: Доказано.

6.64. Если для функции $y = f(x)$ нарушены условия непрерывности в точке $x = x_0$, то эту точку называют точкой разрыва этой функции. Здесь функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$ (за исключением, быть может, самой точки $x = x_0$). Если $x = x_0$ является точкой разрыва функции $y = f(x)$ и односторонние пределы $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$ существуют и принимают конечные значения,

Рис. 6.14

причем $f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0)$, то точка $x = x_0$ называется точкой разрыва функции I рода. А если хотя бы один из пределов $f(x_0 - 0)$ или $f(x_0 + 0)$ не определен или обращается в бесконечность, то точка $x = x_0$ называется точкой разрыва функции II рода. Для функций, заданных на рис. 6.14, определите тип точек разрыва.

Для определения типа точки разрыва $x=a$ для каждой из функций, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности этой точки, а именно — найти односторонние пределы: левосторонний $\lim_{x \to a-0} f(x)$ и правосторонний $\lim_{x \to a+0} f(x)$.

а)
На первом графике (слева) мы видим, что при стремлении аргумента $x$ к точке $a$ слева, функция $f(x)$ стремится к некоторому конечному значению $L_1$. Это левосторонний предел: $\lim_{x \to a-0} f(x) = L_1$. При стремлении $x$ к $a$ справа, функция стремится к другому конечному значению $L_2$. Это правосторонний предел: $\lim_{x \to a+0} f(x) = L_2$. Из графика видно, что $L_1 \neq L_2$. Так как оба односторонних предела существуют, конечны, но не равны друг другу, точка $x=a$ является точкой разрыва I рода. Такой разрыв называют скачком.
Ответ: точка разрыва I рода.

б)
На втором графике показано, что левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=a$ существуют и равны друг другу: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$, где $L$ — конечное число. Однако сама функция в точке $x=a$ не определена, что на графике обозначено "выколотой" точкой. Поскольку оба односторонних предела существуют и конечны, точка $x=a$ является точкой разрыва I рода. Такой разрыв называют устранимым.
Ответ: точка разрыва I рода.

в)
Этот случай похож на предыдущий. Левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=a$ существуют, конечны и равны между собой: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$. Однако значение функции в самой точке $a$ определено и не равно пределу: $f(a) \neq L$. На графике предел обозначен "выколотой" точкой, а значение функции $f(a)$ — закрашенной точкой. Так как оба односторонних предела конечны, это также точка разрыва I рода (устранимый разрыв).
Ответ: точка разрыва I рода.

г)
На четвертом графике (справа) видно, что при стремлении $x$ к $a$ слева, значение функции неограниченно возрастает, то есть левосторонний предел равен бесконечности: $\lim_{x \to a-0} f(x) = +\infty$. Правосторонний предел существует и конечен: $\lim_{x \to a+0} f(x) = L$ (на графике видно, что он равен значению функции в точке $f(a)$). Согласно определению, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.
Ответ: точка разрыва II рода.