Страница 184 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.59. Упростите выражения:

1) $1 + \sin(\pi - \varphi) \cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$

2) $1 - \operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi)$

3) $1 + \operatorname{tg}\beta \cdot \operatorname{tg}2\beta$

4) $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}2\alpha$

1) $1 + \sin(\pi - \varphi)\cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют сводить тригонометрические функции с аргументами вида $\frac{n\pi}{2} \pm \alpha$ к функциям угла $\alpha$.

Рассмотрим первый множитель: $\sin(\pi - \varphi)$. Угол $(\pi - \varphi)$ соответствует второй координатной четверти, в которой синус имеет положительный знак. Поскольку в формуле присутствует $\pi$ (целое число $\pi$), название функции не меняется. Следовательно, $\sin(\pi - \varphi) = \sin\varphi$.

Рассмотрим второй множитель: $\cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$ соответствует третьей координатной четверти, где косинус отрицателен. Поскольку в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$ (половинное число $\pi$), название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Следовательно, $\cos(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = -\sin\varphi$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$1 + \sin\varphi \cdot (-\sin\varphi) = 1 - \sin^2\varphi$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$, из которого следует, что $\cos^2\varphi = 1 - \sin^2\varphi$, получаем окончательный результат.

Ответ: $\cos^2\varphi$.

2) $1 - \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi)\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi)$

Снова применим формулы приведения.

Для тангенса: $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \varphi)$ находится в третьей четверти, где тангенс положителен. Так как в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию. Таким образом, $\text{tg}(\frac{3\pi}{2} - \varphi) = \text{ctg}\varphi$.

Для котангенса: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \varphi)$ находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Так как в аргументе стоит $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию. Таким образом, $\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \varphi) = \text{tg}\varphi$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$1 - \text{ctg}\varphi \cdot \text{tg}\varphi$.

Используя тождество $\text{tg}\varphi \cdot \text{ctg}\varphi = 1$, получаем:

$1 - 1 = 0$.

Ответ: $0$.

3) $1 + \text{tg}\beta \cdot \text{tg}2\beta$

Чтобы упростить это выражение, представим тангенсы через отношение синуса к косинусу:

$1 + \frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot \frac{\sin2\beta}{\cos2\beta} = 1 + \frac{\sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos\beta\cos2\beta$:

$\frac{\cos\beta\cos2\beta + \sin\beta\sin2\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

Числитель дроби представляет собой правую часть формулы косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$. В нашем случае $x = 2\beta$ и $y = \beta$.

Таким образом, числитель можно упростить: $\cos(2\beta - \beta) = \cos\beta$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\cos\beta}{\cos\beta\cos2\beta}$.

При условии, что $\cos\beta \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\cos\beta$:

$\frac{1}{\cos2\beta}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos2\beta}$.

4) $\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha$

Представим котангенсы через отношение косинуса к синусу:

$\text{ctg}\alpha - \text{ctg}2\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\sin2\alpha$:

$\frac{\cos\alpha\sin2\alpha - \cos2\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.

Числитель дроби представляет собой правую часть формулы синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$. В нашем случае $x = 2\alpha$ и $y = \alpha$.

Таким образом, числитель можно упростить: $\sin(2\alpha - \alpha) = \sin\alpha$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha\sin2\alpha}$.

При условии, что $\sin\alpha \neq 0$, мы можем сократить дробь на $\sin\alpha$:

$\frac{1}{\sin2\alpha}$.

Ответ: $\frac{1}{\sin2\alpha}$.

6.60. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2}$

2) $\frac{x-1}{x+2} > \frac{2x-3}{4x+3}$

1) Решим неравенство $ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} > \frac{3}{x+2} $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$ \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+3} - \frac{3}{x+2} > 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+3)(x+2)$:

$ \frac{1 \cdot (x+3)(x+2) + 2 \cdot (x+1)(x+2) - 3 \cdot (x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)(x+2)} > 0 $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{(x^2+5x+6) + 2(x^2+3x+2) - 3(x^2+4x+3)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{x^2+5x+6 + 2x^2+6x+4 - 3x^2-12x-9}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(x^2+2x^2-3x^2) + (5x+6x-12x) + (6+4-9)}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{0 \cdot x^2 - x + 1}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

$ \frac{1-x}{(x+1)(x+2)(x+3)} > 0 $

Чтобы коэффициент при $x$ в числителе был положительным, умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=1, x=-1, x=-2, x=-3$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале.

Выбираем интервалы, где выражение отрицательно (знак «–»): $(-3; -2)$ и $(-1; 1)$. Эти интервалы удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (-1; 1)$.

2) Решим неравенство $ \frac{x-1}{x+2} > \frac{2x-3}{4x+3} $.

ОДЗ: знаменатели не равны нулю.

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

$4x+3 \neq 0 \implies x \neq -3/4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ \frac{x-1}{x+2} - \frac{2x-3}{4x+3} > 0 $

Приведем к общему знаменателю $(x+2)(4x+3)$:

$ \frac{(x-1)(4x+3) - (2x-3)(x+2)}{(x+2)(4x+3)} > 0 $

Упростим числитель:

$ (4x^2+3x-4x-3) - (2x^2+4x-3x-6) = (4x^2-x-3) - (2x^2+x-6) $

$ = 4x^2-x-3 - 2x^2-x+6 = 2x^2-2x+3 $

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x^2-2x+3}{(x+2)(4x+3)} > 0 $

Рассмотрим числитель $2x^2-2x+3$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 4 - 24 = -20 $

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, то квадратный трехчлен $2x^2-2x+3$ всегда положителен при любом значении $x$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$ (x+2)(4x+3) > 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x=-2$ и $x=-3/4$.

Выбираем интервалы, где выражение положительно (знак «+»): $(-\infty; -2)$ и $(-3/4; +\infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-3/4; +\infty)$.