Страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.34. Последовательность $\{b_n\}$ задана формулой общего члена: $b_n = 10n^2 + 4$. Запишите $b_{k+4}$.

Последовательность $\{b_n\}$ задана формулой общего члена $b_n = 10n^2 + 4$.
Чтобы найти член последовательности $b_{k+4}$, необходимо в формулу общего члена подставить $k+4$ вместо $n$.
$b_{k+4} = 10(k+4)^2 + 4$
Для упрощения выражения раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат выражение $(k+4)$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(k+4)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 4 + 4^2 = k^2 + 8k + 16$
Теперь подставим полученное выражение обратно в формулу для $b_{k+4}$:
$b_{k+4} = 10(k^2 + 8k + 16) + 4$
Раскроем скобки, умножив каждый член на 10:
$b_{k+4} = 10k^2 + 10 \cdot 8k + 10 \cdot 16 + 4$
$b_{k+4} = 10k^2 + 80k + 160 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$b_{k+4} = 10k^2 + 80k + 164$

Ответ: $b_{k+4} = 10k^2 + 80k + 164$.

6.35. Покажите, что число $-21$ является членом последовательности $c_n = n^2 - 10n$, и найдите его номер.

Чтобы показать, что число -21 является членом последовательности, заданной формулой $c_n = n^2 - 10n$, и найти его номер, необходимо приравнять общий член последовательности $c_n$ к -21 и решить полученное уравнение относительно $n$. Номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом.

Составим и решим уравнение:

$c_n = -21$

$n^2 - 10n = -21$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$n^2 - 10n + 21 = 0$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

$n_1 + n_2 = 10$

$n_1 \cdot n_2 = 21$

Подбором находим корни: $n_1 = 3$ и $n_2 = 7$.

Также можно решить уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$

$n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 4}{2}$

Находим два корня:

$n_1 = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$n_2 = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Оба корня (3 и 7) являются натуральными числами. Это означает, что число -21 является членом данной последовательности, причем дважды: под номером 3 и под номером 7.

Ответ: Число -21 является членом последовательности, его номера — 3 и 7.

6.36. Напишите формулу общего члена последовательностей, заданных в задаче 6.32.

а) Последовательность натуральных чисел, кратных 3, представляет собой ряд чисел: 3, 6, 9, 12, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

Первый член последовательности (при $n=1$): $a_1 = 3 = 3 \cdot 1$.

Второй член последовательности (при $n=2$): $a_2 = 6 = 3 \cdot 2$.

Третий член последовательности (при $n=3$): $a_3 = 9 = 3 \cdot 3$.

Из этого видно, что каждый член последовательности получается умножением его номера $n$ на 3. Таким образом, формула общего члена последовательности имеет вид $a_n = 3n$.

Ответ: $a_n = 3n$.

б) Последовательность натуральных чисел, кратных 5, представляет собой ряд чисел: 5, 10, 15, 20, ... . Обозначим n-й член последовательности как $a_n$.

Первый член последовательности (при $n=1$): $a_1 = 5 = 5 \cdot 1$.

Второй член последовательности (при $n=2$): $a_2 = 10 = 5 \cdot 2$.

Третий член последовательности (при $n=3$): $a_3 = 15 = 5 \cdot 3$.

Каждый член этой последовательности равен его номеру $n$, умноженному на 5. Следовательно, формула общего члена последовательности: $a_n = 5n$.

Ответ: $a_n = 5n$.

в) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 7 дают в остатке 1. Это означает, что каждый член последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = 7k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число (частное от деления).

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

Для $k=0$ (первый член, $n=1$): $a_1 = 7 \cdot 0 + 1 = 1$.

Для $k=1$ (второй член, $n=2$): $a_2 = 7 \cdot 1 + 1 = 8$.

Для $k=2$ (третий член, $n=3$): $a_3 = 7 \cdot 2 + 1 = 15$.

Полученная последовательность 1, 8, 15, ... является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 1$, а разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 8 - 1 = 7$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив значения $a_1$ и $d$, получим: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 7 = 1 + 7n - 7 = 7n - 6$.

Ответ: $a_n = 7n - 6$.

г) Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Каждый член такой последовательности $a_n$ можно представить в виде $a_n = 4k + 3$, где $k$ — целое неотрицательное число.

Найдем первые несколько членов последовательности, подставляя $k = 0, 1, 2, ...$:

Для $k=0$ (первый член, $n=1$): $a_1 = 4 \cdot 0 + 3 = 3$.

Для $k=1$ (второй член, $n=2$): $a_2 = 4 \cdot 1 + 3 = 7$.

Для $k=2$ (третий член, $n=3$): $a_3 = 4 \cdot 2 + 3 = 11$.

Полученная последовательность 3, 7, 11, ... является арифметической прогрессией. Её первый член $a_1 = 3$, а разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4$.

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получим:

$a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1$.

Ответ: $a_n = 4n - 1$.

6.37. Является ли последовательность возрастающей (убывающей):

1) $a_n = -9n^2 + 10n + 25$;

2) $b_n = n^2 + 2n - 3$;

3) $u_n = 3^n - 2^n$;

4) $c_n = \frac{n}{n^2 + 1}$;

5) $x_n = \frac{3n + 4}{n + 2}$;

6) $y_n = \frac{2n + 9}{n + 3}$?

Для определения характера монотонности последовательности (является ли она возрастающей или убывающей), необходимо исследовать знак разности $a_{n+1} - a_n$ для $n \in \mathbb{N}$ ($n \ge 1$).

• Если $a_{n+1} - a_n > 0$ для всех $n$, последовательность является возрастающей.
• Если $a_{n+1} - a_n < 0$ для всех $n$, последовательность является убывающей.
• Если знак разности меняется, последовательность не является монотонной.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$a_{n+1} = -9(n+1)^2 + 10(n+1) + 25 = -9(n^2 + 2n + 1) + 10n + 10 + 25 = -9n^2 - 18n - 9 + 10n + 35 = -9n^2 - 8n + 26$.

Теперь рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} - a_n = (-9n^2 - 8n + 26) - (-9n^2 + 10n + 25) = -9n^2 - 8n + 26 + 9n^2 - 10n - 25 = -18n + 1$.

Так как $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$, то $-18n \le -18$, и, следовательно, $-18n + 1 \le -17$.

Поскольку разность $a_{n+1} - a_n = -18n + 1 < 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность является убывающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$b_{n+1} = (n+1)^2 + 2(n+1) - 3 = (n^2 + 2n + 1) + 2n + 2 - 3 = n^2 + 4n$.

Рассмотрим разность $b_{n+1} - b_n$:

$b_{n+1} - b_n = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = n^2 + 4n - n^2 - 2n + 3 = 2n + 3$.

Так как $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и $2n + 3 \ge 5$.

Поскольку разность $b_{n+1} - b_n = 2n + 3 > 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$u_{n+1} = 3^{n+1} - 2^{n+1} = 3 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n$.

Рассмотрим разность $u_{n+1} - u_n$:

$u_{n+1} - u_n = (3 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^n) - (3^n - 2^n) = 3 \cdot 3^n - 3^n - 2 \cdot 2^n + 2^n = 2 \cdot 3^n - 2^n$.

Чтобы определить знак этого выражения, вынесем $2^n$ за скобки: $2^n(2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1)$.

Так как $n \ge 1$, то $\frac{3}{2} \ge 1.5$, и $(\frac{3}{2})^n \ge \frac{3}{2}$.

Следовательно, $2 \cdot (\frac{3}{2})^n \ge 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$. Тогда $2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1 \ge 3 - 1 = 2 > 0$.

Поскольку $2^n > 0$ и $2 \cdot (\frac{3}{2})^n - 1 > 0$, их произведение также положительно. Таким образом, $u_{n+1} - u_n > 0$ для всех натуральных $n$.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:

$c_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2}$.

Рассмотрим разность $c_{n+1} - c_n$:

$c_{n+1} - c_n = \frac{n+1}{n^2 + 2n + 2} - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}$.

Знаменатель дроби всегда положителен при $n \ge 1$. Исследуем знак числителя:

$(n+1)(n^2+1) - n(n^2+2n+2) = (n^3 + n + n^2 + 1) - (n^3 + 2n^2 + 2n) = n^3 + n^2 + n + 1 - n^3 - 2n^2 - 2n = -n^2 - n + 1 = -(n^2 + n - 1)$.

Для $n \ge 1$, $n^2 \ge 1$ и $n \ge 1$. Тогда $n^2 + n \ge 2$, и $n^2 + n - 1 \ge 1 > 0$.

Таким образом, числитель $-(n^2 + n - 1)$ отрицателен для всех натуральных $n$.

Поскольку числитель отрицателен, а знаменатель положителен, то $c_{n+1} - c_n < 0$.

Ответ: последовательность является убывающей.

Преобразуем общий член последовательности, выделив целую часть:

$x_n = \frac{3(n+2) - 6 + 4}{n+2} = \frac{3(n+2) - 2}{n+2} = 3 - \frac{2}{n+2}$.

Тогда $(n+1)$-й член последовательности: $x_{n+1} = 3 - \frac{2}{(n+1)+2} = 3 - \frac{2}{n+3}$.

Рассмотрим разность $x_{n+1} - x_n$:

$x_{n+1} - x_n = \left(3 - \frac{2}{n+3}\right) - \left(3 - \frac{2}{n+2}\right) = \frac{2}{n+2} - \frac{2}{n+3} = 2\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$.

$x_{n+1} - x_n = 2\left(\frac{(n+3) - (n+2)}{(n+2)(n+3)}\right) = \frac{2}{(n+2)(n+3)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+2)(n+3)$ является произведением положительных чисел и, следовательно, положителен. Вся дробь положительна.

Поскольку $x_{n+1} - x_n > 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является возрастающей.

Ответ: последовательность является возрастающей.

Преобразуем общий член последовательности, выделив целую часть:

$y_n = \frac{2(n+3) - 6 + 9}{n+3} = \frac{2(n+3) + 3}{n+3} = 2 + \frac{3}{n+3}$.

Тогда $(n+1)$-й член последовательности: $y_{n+1} = 2 + \frac{3}{(n+1)+3} = 2 + \frac{3}{n+4}$.

Рассмотрим разность $y_{n+1} - y_n$:

$y_{n+1} - y_n = \left(2 + \frac{3}{n+4}\right) - \left(2 + \frac{3}{n+3}\right) = \frac{3}{n+4} - \frac{3}{n+3} = 3\left(\frac{1}{n+4} - \frac{1}{n+3}\right)$.

$y_{n+1} - y_n = 3\left(\frac{(n+3) - (n+4)}{(n+4)(n+3)}\right) = 3\left(\frac{-1}{(n+4)(n+3)}\right) = \frac{-3}{(n+4)(n+3)}$.

Так как $n \ge 1$, знаменатель $(n+4)(n+3)$ положителен. Числитель -3 отрицателен, поэтому вся дробь отрицательна.

Поскольку $y_{n+1} - y_n < 0$ для всех натуральных $n$, последовательность является убывающей.

Ответ: последовательность является убывающей.

6.38. Является ли последовательность монотонной:

1) $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$;

2) $b_n = \frac{2+(-1)^n}{n}$;

3) $c_n = \sqrt{n^2+n}-n$;

4) $x_n = \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$?

1) $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$
Для того чтобы определить, является ли последовательность монотонной, необходимо сравнить два соседних члена последовательности, $a_n$ и $a_{n+1}$.
$a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Для любого натурального числа $n \ge 1$ справедливо неравенство $n+1 > n$.
Поскольку функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x > 0$, то $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$.
Так как оба выражения $\sqrt{n+1}$ и $\sqrt{n}$ положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}}$
Следовательно, $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.
Это означает, что последовательность является строго убывающей. Всякая строго убывающая последовательность является монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго убывающей).

2) $b_n = \frac{2+(-1)^n}{n}$
Для анализа поведения последовательности вычислим ее первые несколько членов.
При $n=1$: $b_1 = \frac{2+(-1)^1}{1} = \frac{2-1}{1} = 1$.
При $n=2$: $b_2 = \frac{2+(-1)^2}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
При $n=3$: $b_3 = \frac{2+(-1)^3}{3} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$.
Сравнивая полученные значения, мы видим, что $b_1 < b_2$ (поскольку $1 < 1.5$), но в то же время $b_2 > b_3$ (поскольку $1.5 > 1/3$).
Поскольку последовательность не является ни неубывающей (возрастающей), ни невозрастающей (убывающей), она не является монотонной.
Ответ: нет, последовательность не является монотонной.

3) $c_n = \sqrt{n^2 + n} - n$
Чтобы исследовать последовательность на монотонность, преобразуем выражение для $n$-го члена, умножив и разделив его на сопряженное выражение:
$c_n = (\sqrt{n^2 + n} - n) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$.
Для удобства дальнейшего анализа вынесем $n$ из-под корня и из знаменателя в целом:
$c_n = \frac{n}{\sqrt{n^2(1+1/n)} + n} = \frac{n}{n\sqrt{1+1/n} + n} = \frac{n}{n(\sqrt{1+1/n} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}$.
Теперь сравним $c_n$ и $c_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{1+1/(n+1)} + 1}$.
Так как $n+1 > n$, то $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.
Прибавляя 1 к обеим частям, получаем $1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{n}$.
Применяя возрастающую функцию квадратного корня, имеем $\sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} < \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$.
Добавим 1 к обеим частям: $\sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} + 1 < \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1$.
Так как обе части неравенства положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{\sqrt{1+1/(n+1)} + 1} > \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}$.
Таким образом, $c_{n+1} > c_n$ для всех $n \ge 1$. Последовательность является строго возрастающей, а значит, и монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго возрастающей).

4) $x_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$
Преобразуем выражение для $n$-го члена, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, из которой следует, что $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$.
Пусть $a=\sqrt[3]{n+1}$ и $b=\sqrt[3]{n}$. Тогда:
$x_n = \frac{(\sqrt[3]{n+1})^3 - (\sqrt[3]{n})^3}{(\sqrt[3]{n+1})^2 + \sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{n^2}}$.
$x_n = \frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2}}$.
Рассмотрим знаменатель этой дроби, обозначив его как $D_n = \sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2}$.
Сравним $D_n$ и $D_{n+1} = \sqrt[3]{(n+2)^2} + \sqrt[3]{(n+1)(n+2)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}$.
Для всех $n \ge 1$ выполняются неравенства:
$\sqrt[3]{(n+2)^2} > \sqrt[3]{(n+1)^2}$,
$\sqrt[3]{(n+1)(n+2)} > \sqrt[3]{n(n+1)}$,
$\sqrt[3]{(n+1)^2} > \sqrt[3]{n^2}$.
Так как каждое слагаемое в выражении для $D_{n+1}$ больше соответствующего слагаемого в $D_n$, то и вся сумма $D_{n+1} > D_n$.
Знаменатель $D_n$ является строго возрастающей последовательностью положительных чисел. Следовательно, последовательность $x_n = \frac{1}{D_n}$ является строго убывающей, так как мы берем обратную величину от возрастающей положительной последовательности.
Таким образом, $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \ge 1$.
Последовательность является строго убывающей, а значит, и монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго убывающей).

6.39. Является ли последовательность ограниченной:

1) $12n - 5$;

2) $\frac{1}{2n}$;

3) $(-1)^n \sqrt{n}$;

4) $\frac{n + 3n^2}{n}$;

5) $\frac{n + \cos n}{2n + 1}$;

6) $\frac{n^2}{100n + 1}$?

1) $12n - 5$
Рассмотрим последовательность $a_n = 12n - 5$. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 12(1) - 5 = 7$ и разностью $d = 12$.
Поскольку разность прогрессии положительна ($d > 0$), последовательность является возрастающей. Она ограничена снизу своим первым членом: $a_n \ge 7$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Однако, при неограниченном увеличении $n$, член последовательности $a_n$ также неограниченно возрастает. Формально, для любого числа $M > 0$ можно найти такое натуральное $n$, что $12n - 5 > M$. Это выполняется при $n > \frac{M+5}{12}$.
Так как последовательность не ограничена сверху, она не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

2) $\frac{1}{2n}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{2n}$.
Поскольку $n \ge 1$, то $2n \ge 2$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{2n} \le \frac{1}{2}$.
Это означает, что все члены последовательности находятся в интервале $(0, \frac{1}{2}]$.
Последовательность ограничена снизу числом 0 и сверху числом $\frac{1}{2}$.
Следовательно, последовательность является ограниченной. Можно взять $M = \frac{1}{2}$, тогда $|a_n| \le M$ для всех $n \in \mathbb{N}$.
Ответ: является ограниченной.

3) $(-1)^n \sqrt{n}$
Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n \sqrt{n}$.
Ее члены принимают как положительные, так и отрицательные значения: $a_1 = -1$, $a_2 = \sqrt{2}$, $a_3 = -\sqrt{3}$, $a_4 = 2$, и т.д.
Рассмотрим модуль члена последовательности: $|a_n| = |(-1)^n \sqrt{n}| = \sqrt{n}$.
При $n \to \infty$, значение $\sqrt{n} \to \infty$. Это означает, что модуль члена последовательности неограниченно возрастает.
Подпоследовательность четных членов $a_{2k} = \sqrt{2k}$ стремится к $+\infty$.
Подпоследовательность нечетных членов $a_{2k-1} = -\sqrt{2k-1}$ стремится к $-\infty$.
Следовательно, последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, и не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

4) $\frac{n + 3n^2}{n}$
Упростим выражение для члена последовательности $a_n = \frac{n + 3n^2}{n}$, разделив числитель на знаменатель почленно:
$a_n = \frac{n}{n} + \frac{3n^2}{n} = 1 + 3n$.
Эта последовательность, как и в пункте 1), является арифметической прогрессией с первым членом $a_1 = 1+3(1)=4$ и разностью $d=3$.
Так как $d > 0$, последовательность возрастает и не ограничена сверху. При $n \to \infty$, $a_n \to \infty$.
Последовательность ограничена снизу ($a_n \ge 4$), но не ограничена сверху, поэтому она не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

5) $\frac{n + \cos n}{2n + 1}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1}$.
Известно, что функция косинуса ограничена: $-1 \le \cos n \le 1$ для любого $n$.
Найдем оценку сверху для $a_n$:
$a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1} \le \frac{n + 1}{2n + 1}$. Функция $f(n) = \frac{n+1}{2n+1}$ убывает с ростом $n$, поэтому ее максимальное значение достигается при $n=1$: $f(1) = \frac{1+1}{2(1)+1} = \frac{2}{3}$. Таким образом, $a_n \le \frac{2}{3}$.
Найдем оценку снизу для $a_n$:
$a_n = \frac{n + \cos n}{2n + 1} \ge \frac{n - 1}{2n + 1}$. Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$ и $2n+1 > 0$, следовательно, $a_n \ge 0$.
Таким образом, для всех $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $0 \le a_n \le \frac{2}{3}$.
Поскольку последовательность ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной.
Ответ: является ограниченной.

6) $\frac{n^2}{100n + 1}$
Рассмотрим последовательность $a_n = \frac{n^2}{100n + 1}$.
Чтобы понять поведение последовательности при больших $n$, разделим числитель и знаменатель на $n$:
$a_n = \frac{n^2/n}{(100n+1)/n} = \frac{n}{100 + \frac{1}{n}}$.
При $n \to \infty$, числитель $n$ стремится к бесконечности, а знаменатель $100 + \frac{1}{n}$ стремится к $100$.
Следовательно, предел последовательности равен бесконечности: $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$.
Это означает, что последовательность не ограничена сверху.
Поскольку $n^2 > 0$ и $100n+1 > 0$ для $n \ge 1$, последовательность ограничена снизу нулем ($a_n > 0$).
Однако, из-за неограниченности сверху, последовательность не является ограниченной.
Ответ: не является ограниченной.

6.40. Приведите пример последовательности:

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу;

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху;

3) неограниченной ни сверху, ни снизу;

4) ограниченной, но не имеющей предела;

5) возрастающей;

6) убывающей.

1) ограниченной сверху, но не ограниченной снизу

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для всех членов последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \le M$. Последовательность не ограничена снизу, если для любого числа $m$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $a_n < m$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = -n$. Ее члены: $-1, -2, -3, \dots, -n, \dots$.

Эта последовательность ограничена сверху, например, числом $0$, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $-n < 0$.

В то же время, она не ограничена снизу, так как для любого, сколь угодно малого числа $m$ (например, $m = -1000000$), можно найти такой номер $n$, что $a_n = -n < m$. Для этого достаточно взять $n > -m$. Так как множество натуральных чисел не ограничено сверху, такой номер $n$ всегда найдется.

Ответ: $a_n = -n$.

2) ограниченной снизу, но не ограниченной сверху

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для всех членов последовательности $a_n$ выполняется неравенство $a_n \ge m$. Последовательность не ограничена сверху, если для любого числа $M$ найдется член последовательности $a_n$ такой, что $a_n > M$.

В качестве примера рассмотрим последовательность натуральных чисел $a_n = n$. Ее члены: $1, 2, 3, \dots, n, \dots$.

Эта последовательность ограничена снизу, например, числом $1$, так как для любого натурального $n$ выполняется неравенство $n \ge 1$.

В то же время, она не ограничена сверху. Для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такой номер $n$, что $a_n = n > M$. Для этого достаточно взять $n > M$.

Ответ: $a_n = n$.

3) неограниченной ни сверху, ни снизу

Последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, если для любого числа $M$ найдется член $a_n > M$, и для любого числа $m$ найдется член $a_k < m$.

Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n \cdot n$. Ее члены: $-1, 2, -3, 4, -5, \dots$.

Эта последовательность не ограничена сверху, так как ее подпоследовательность с четными номерами $a_{2k} = (-1)^{2k} \cdot 2k = 2k$ (члены $2, 4, 6, \dots$) стремится к $+\infty$.

Эта последовательность не ограничена снизу, так как ее подпоследовательность с нечетными номерами $a_{2k-1} = (-1)^{2k-1} \cdot (2k-1) = -(2k-1)$ (члены $-1, -3, -5, \dots$) стремится к $-\infty$.

Ответ: $a_n = (-1)^n \cdot n$.

4) ограниченной, но не имеющей предела

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть существует такое число $C > 0$, что $|a_n| \le C$ для всех $n$. Последовательность не имеет предела, если она не сходится ни к какому конечному числу.

Рассмотрим последовательность $a_n = (-1)^n$. Ее члены: $-1, 1, -1, 1, \dots$.

Эта последовательность ограничена, так как все ее члены принадлежат множеству $\{-1, 1\}$. Следовательно, для любого $n$ выполняется неравенство $-1 \le a_n \le 1$, то есть $|a_n| \le 1$.

Однако, эта последовательность не имеет предела. Она имеет две предельные точки: $-1$ (предел подпоследовательности нечетных членов) и $1$ (предел подпоследовательности четных членов). Поскольку для существования предела последовательности необходимо, чтобы все ее подпоследовательности сходились к одному и тому же числу, данная последовательность предела не имеет.

Ответ: $a_n = (-1)^n$.

5) возрастающей

Последовательность $\{a_n\}$ называется возрастающей (строго возрастающей), если для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} > a_n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = n$. Ее члены: $1, 2, 3, 4, \dots, n, \dots$.

Для проверки условия возрастания сравним $a_{n+1}$ и $a_n$. Имеем $a_{n+1} = n+1$ и $a_n = n$. Так как $n+1 > n$ для всех натуральных $n$, то $a_{n+1} > a_n$. Следовательно, последовательность является возрастающей.

Ответ: $a_n = n$.

6) убывающей

Последовательность $\{a_n\}$ называется убывающей (строго убывающей), если для любого натурального номера $n$ выполняется неравенство $a_{n+1} < a_n$.

В качестве примера рассмотрим последовательность $a_n = \frac{1}{n}$. Ее члены: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{n}, \dots$.

Сравним члены $a_{n+1} = \frac{1}{n+1}$ и $a_n = \frac{1}{n}$. Так как для любого натурального $n$ имеем $n+1 > n$, и обе части неравенства положительны, то обратные величины удовлетворяют обратному неравенству: $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$. Таким образом, $a_{n+1} < a_n$, и последовательность является убывающей.

Ответ: $a_n = \frac{1}{n}$.

6.41. Найдите отрезок $[a; b]$ такой, чтобы в нем лежали все члены последовательности $a_n = \frac{5+4n}{2+n}$.

Для того чтобы найти отрезок $[a; b]$, содержащий все члены последовательности $a_n = \frac{5 + 4n}{2 + n}$, нужно исследовать ее на монотонность и найти ее точные нижнюю и верхнюю грани.

1. Преобразование формулы.

Выделим целую часть в выражении для $a_n$:

$a_n = \frac{4n + 5}{n + 2} = \frac{4(n + 2) - 8 + 5}{n + 2} = \frac{4(n + 2) - 3}{n + 2} = 4 - \frac{3}{n + 2}$.

2. Исследование на монотонность.

Рассмотрим разность $a_{n+1} - a_n$:

$a_{n+1} = 4 - \frac{3}{(n+1) + 2} = 4 - \frac{3}{n + 3}$.

$a_{n+1} - a_n = \left(4 - \frac{3}{n + 3}\right) - \left(4 - \frac{3}{n + 2}\right) = \frac{3}{n + 2} - \frac{3}{n + 3} = \frac{3(n + 3) - 3(n + 2)}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{3n + 9 - 3n - 6}{(n + 2)(n + 3)} = \frac{3}{(n + 2)(n + 3)}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), знаменатель $(n + 2)(n + 3)$ всегда положителен. Следовательно, $a_{n+1} - a_n > 0$, что означает $a_{n+1} > a_n$. Последовательность является строго возрастающей.

3. Нахождение границ.

Так как последовательность строго возрастает, ее наименьшее значение достигается при $n=1$. Это значение будет точной нижней гранью (инфимумом) множества значений последовательности.

$a = \inf\{a_n\} = a_1 = \frac{5 + 4 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{9}{3} = 3$.

Верхней границей для возрастающей последовательности является ее предел при $n \rightarrow \infty$. Этот предел будет точной верхней гранью (супремумом) множества значений.

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(4 - \frac{3}{n + 2}\right)$.

Так как $\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n + 2} = 0$, то предел равен:

$b = \sup\{a_n\} = \lim_{n\to\infty} a_n = 4 - 0 = 4$.

Все члены последовательности удовлетворяют неравенству $3 \le a_n < 4$. Наименьший член последовательности равен 3, а все остальные члены больше 3 и стремятся к 4, не достигая этого значения. Таким образом, чтобы отрезок $[a; b]$ содержал все члены последовательности, его левый конец должен быть не больше 3, а правый — не меньше 4. Наименьший такой отрезок будет $[3; 4]$.

Ответ: $[3; 4]$.

6.42. Последовательности $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ и $\{c_n\}$ заданы рекуррентными формулами $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$; $b_1 = 5$, $b_{n+1} = b_n + 4$; $c_1 = 5$, $c_{n+1} = -3c_n$. Какая из этих последовательностей образует:

1) арифметическую прогрессию?

2) геометрическую прогрессию?

1) арифметическую прогрессию
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$ (разностью прогрессии). Рекуррентная формула для арифметической прогрессии имеет вид: $x_{n+1} = x_n + d$. Проверим каждую из заданных последовательностей.

Анализ последовательности {$a_n$}:
Последовательность задана формулами $a_1 = 1$ и $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$.
Найдем разность между двумя последовательными членами: $a_{n+1} - a_n = (0.1 \cdot a_n + 14) - a_n = 14 - 0.9 \cdot a_n$.
Так как разность зависит от значения члена $a_n$, она не является постоянной. Например:
$a_1 = 1$
$a_2 = 0.1 \cdot 1 + 14 = 14.1$
$a_3 = 0.1 \cdot 14.1 + 14 = 1.41 + 14 = 15.41$
Разность $a_2 - a_1 = 14.1 - 1 = 13.1$.
Разность $a_3 - a_2 = 15.41 - 14.1 = 1.31$.
Поскольку $13.1 \neq 1.31$, последовательность {$a_n$} не является арифметической прогрессией.

Анализ последовательности {$b_n$}:
Последовательность задана формулами $b_1 = 5$ и $b_{n+1} = b_n + 4$.
Эта рекуррентная формула в точности соответствует определению арифметической прогрессии $x_{n+1} = x_n + d$. В данном случае разность прогрессии $d = 4$ является постоянной величиной.
Следовательно, последовательность {$b_n$} является арифметической прогрессией.

Анализ последовательности {$c_n$}:
Последовательность задана формулами $c_1 = 5$ и $c_{n+1} = -3c_n$.
Разность между двумя последовательными членами: $c_{n+1} - c_n = -3c_n - c_n = -4c_n$.
Разность зависит от значения члена $c_n$, следовательно, она не постоянна. Эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: арифметическую прогрессию образует последовательность {$b_n$}.

2) геометрическую прогрессию
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же ненулевое число $q$ (знаменателем прогрессии). Рекуррентная формула для геометрической прогрессии имеет вид: $x_{n+1} = q \cdot x_n$. Проверим каждую из заданных последовательностей.

Анализ последовательности {$a_n$}:
Последовательность задана формулой $a_{n+1} = 0.1 \cdot a_n + 14$.
Найдем отношение двух последовательных членов: $q = \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{0.1 \cdot a_n + 14}{a_n} = 0.1 + \frac{14}{a_n}$.
Так как отношение зависит от значения члена $a_n$, оно не является постоянным. Например:
$a_1 = 1, a_2 = 14.1, a_3 = 15.41$.
Отношение $a_2 / a_1 = 14.1 / 1 = 14.1$.
Отношение $a_3 / a_2 = 15.41 / 14.1 \approx 1.09$.
Поскольку $14.1 \neq 1.09$, последовательность {$a_n$} не является геометрической прогрессией.

Анализ последовательности {$b_n$}:
Последовательность задана формулой $b_{n+1} = b_n + 4$.
Отношение двух последовательных членов: $q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{b_n + 4}{b_n} = 1 + \frac{4}{b_n}$.
Отношение зависит от значения члена $b_n$ и не является постоянным. Эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Анализ последовательности {$c_n$}:
Последовательность задана формулами $c_1 = 5$ и $c_{n+1} = -3c_n$.
Эта рекуррентная формула в точности соответствует определению геометрической прогрессии $x_{n+1} = q \cdot x_n$. В данном случае знаменатель прогрессии $q = -3$ является постоянной величиной.
Следовательно, последовательность {$c_n$} является геометрической прогрессией.

Ответ: геометрическую прогрессию образует последовательность {$c_n$}.

6.43. При каких значениях a и b последовательность $y_n = \frac{an + 2}{bn + 1}$ является:

1) возрастающей;

2) убывающей;

3) неубывающей;

4) невозрастающей?

Для определения характера монотонности последовательности $y_n = \frac{an+2}{bn+1}$, найдем разность между последующим и предыдущим членами: $y_{n+1} - y_n$.

$y_{n+1} = \frac{a(n+1)+2}{b(n+1)+1} = \frac{an+a+2}{bn+b+1}$

$y_{n+1} - y_n = \frac{an+a+2}{bn+b+1} - \frac{an+2}{bn+1} = \frac{(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1)}{(bn+b+1)(bn+1)}$

Вычислим числитель этой дроби:

$(an+a+2)(bn+1) - (an+2)(bn+b+1) = (abn^2 + an + abn + a + 2bn + 2) - (abn^2 + abn + an + 2bn + 2b + 2) = a - 2b$

Таким образом, разность имеет вид:

$y_{n+1} - y_n = \frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)}$

Последовательность $y_n$ определена для всех натуральных $n \ge 1$, если ее знаменатель $bn+1 \neq 0$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Это означает, что $-1/b$ не должно быть натуральным числом. Это условие можно записать как $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Монотонность последовательности зависит от знака разности $y_{n+1} - y_n$. Чтобы последовательность была монотонной, этот знак должен быть постоянным для всех $n \ge 1$. Это возможно, если числитель $a-2b$ не равен нулю и знак знаменателя $D(n) = (bn+1)(b(n+1)+1)$ постоянен, либо если числитель равен нулю, что делает всю разность нулевой.

Исследуем знак знаменателя $D(n)$:

• Если $b=0$, то $D(n) = (1)(1) = 1 > 0$.
• Если $b>0$, то $bn+1 > 1$ и $b(n+1)+1 > 1$ для всех $n \ge 1$, следовательно $D(n) > 0$.
• Если $b<0$, то $bn+1$ — убывающая функция. Чтобы знак $D(n)$ был постоянным, нули сомножителей ($n=-1/b$ и $n=-1/b-1$) должны находиться вне интервала $[1, \infty)$. Так как $-1/b > 0$, это требует, чтобы $-1/b < 1$, что равносильно $b < -1$. В этом случае оба сомножителя $bn+1$ и $b(n+1)+1$ отрицательны для всех $n \ge 1$, а их произведение $D(n)$ положительно.
• Если $-1 \le b < 0$ (и $b \notin \{-1, -1/2, ...\}$), знак $D(n)$ меняется, и последовательность не может быть строго монотонной.

Итак, для строгой монотонности необходимо, чтобы $b \ge 0$ или $b < -1$. В этих случаях знаменатель $D(n)$ всегда положителен.

1) возрастающей

Последовательность является возрастающей, если $y_{n+1} > y_n$ для всех $n \ge 1$. Это эквивалентно неравенству $\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} > 0$.

Так как знаменатель положителен при $b \ge 0$ или $b < -1$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был строго положителен: $a-2b > 0$, то есть $a > 2b$.

Ответ: ($a > 2b$ и $b \ge 0$) или ($a > 2b$ и $b < -1$).

2) убывающей

Последовательность является убывающей, если $y_{n+1} < y_n$ для всех $n \ge 1$. Это эквивалентно неравенству $\frac{a-2b}{(bn+1)(b(n+1)+1)} < 0$.

При условии, что знаменатель положителен ($b \ge 0$ или $b < -1$), неравенство выполняется, если числитель строго отрицателен: $a-2b < 0$, то есть $a < 2b$.

Ответ: ($a < 2b$ и $b \ge 0$) или ($a < 2b$ и $b < -1$).

3) неубывающей

Последовательность является неубывающей, если $y_{n+1} \ge y_n$ для всех $n \ge 1$. Это возможно в двух случаях.

1. Последовательность строго возрастающая. Условия для этого были найдены в пункте 1): $a > 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$).

2. Последовательность постоянна, то есть $y_{n+1} = y_n$. Это происходит, если $a-2b=0$, то есть $a=2b$. В этом случае $y_n = \frac{2bn+2}{bn+1} = 2$, при условии, что последовательность определена для всех $n$, то есть $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Объединяя эти два случая, получаем итоговые условия.

Ответ: ($a > 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$)) или ($a = 2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$).

4) невозрастающей

Последовательность является невозрастающей, если $y_{n+1} \le y_n$ для всех $n \ge 1$. Это возможно в двух случаях.

1. Последовательность строго убывающая. Условия для этого были найдены в пункте 2): $a < 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$).

2. Последовательность постоянна. Условия для этого те же, что и в пункте 3): $a=2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$.

Объединяя эти два случая, получаем итоговые условия.

Ответ: ($a < 2b$ и ($b \ge 0$ или $b < -1$)) или ($a = 2b$ и $b \notin \{-1, -1/2, -1/3, ...\}$).