Страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Докажите самостоятельно

Свойство $4^\circ$ доказывается аналогично, а следствие следует из свойств $1^\circ$ и $3^\circ$.

Свойство 4°

Здесь доказывается теорема о пределе частного двух последовательностей.

Формулировка: Пусть даны две сходящиеся последовательности $ \{x_n\} $ и $ \{y_n\} $, такие что $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = b $. Если $ b \neq 0 $ и $ y_n \neq 0 $ для всех $ n $, то последовательность их частного $ \{x_n/y_n\} $ также сходится, и её предел равен $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} $.

Доказательство:

Согласно определению предела, нам нужно доказать, что для любого сколь угодно малого числа $ \varepsilon > 0 $ существует такое натуральное число $ N $, что для всех номеров $ n > N $ будет выполняться неравенство: $ \left| \frac{x_n}{y_n} - \frac{a}{b} \right| < \varepsilon $.

Преобразуем выражение под знаком модуля: $ \left| \frac{x_n}{y_n} - \frac{a}{b} \right| = \left| \frac{x_n b - a y_n}{y_n b} \right| $. Для дальнейшего преобразования числителя прибавим и вычтем в нём величину $ ab $: $ \left| \frac{x_n b - ab + ab - a y_n}{y_n b} \right| = \left| \frac{b(x_n - a) - a(y_n - b)}{y_n b} \right| $.

Применим неравенство треугольника ($ |u - v| \le |u| + |v| $) к числителю: $ \le \frac{|b(x_n - a)| + |a(y_n - b)|}{|y_n b|} = \frac{|b| \cdot |x_n - a| + |a| \cdot |y_n - b|}{|y_n| \cdot |b|} $.

Так как $ \lim_{n \to \infty} y_n = b $ и $ b \neq 0 $, то, согласно определению предела, для $ \varepsilon_1 = \frac{|b|}{2} > 0 $ найдется такое натуральное число $ N_1 $, что для всех $ n > N_1 $ выполняется $ |y_n - b| < \frac{|b|}{2} $. Из этого, в свою очередь, следует, что $ |y_n| > |b| - |y_n - b| > |b| - \frac{|b|}{2} = \frac{|b|}{2} $. Значит, для $ n > N_1 $ величина $ \frac{1}{|y_n|} $ ограничена сверху: $ \frac{1}{|y_n|} < \frac{2}{|b|} $.

Подставим эту оценку в наше неравенство. Для $ n > N_1 $ имеем: $ \left| \frac{x_n}{y_n} - \frac{a}{b} \right| < \frac{|b| \cdot |x_n - a| + |a| \cdot |y_n - b|}{(\frac{|b|}{2}) \cdot |b|} = \frac{2}{|b|} |x_n - a| + \frac{2|a|}{|b|^2} |y_n - b| $.

Поскольку $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $, для любого $ \varepsilon_x > 0 $ найдется $ N_x $, что для $ n > N_x $ будет $ |x_n - a| < \varepsilon_x $. Аналогично, так как $ \lim_{n \to \infty} y_n = b $, для любого $ \varepsilon_y > 0 $ найдется $ N_y $, что для $ n > N_y $ будет $ |y_n - b| < \varepsilon_y $.

Чтобы доказать сходимость, выберем $ \varepsilon_x $ и $ \varepsilon_y $ таким образом, чтобы итоговое выражение было меньше $ \varepsilon $. Пусть каждое слагаемое будет меньше $ \varepsilon/2 $. 1. Потребуем $ \frac{2}{|b|} |x_n - a| < \frac{\varepsilon}{2} $, что эквивалентно $ |x_n - a| < \frac{\varepsilon|b|}{4} $. Такое $ N_2 $ существует. 2. Потребуем $ \frac{2|a|}{|b|^2} |y_n - b| < \frac{\varepsilon}{2} $. Если $ a \neq 0 $, это эквивалентно $ |y_n - b| < \frac{\varepsilon|b|^2}{4|a|} $. Такое $ N_3 $ существует. Если $ a = 0 $, это слагаемое равно нулю и условие выполняется.

Пусть $ N = \max(N_1, N_2, N_3) $. Тогда для всех $ n > N $ выполняются все три условия, и мы получаем: $ \left| \frac{x_n}{y_n} - \frac{a}{b} \right| < \frac{2}{|b|} \left(\frac{\varepsilon|b|}{4}\right) + \frac{2|a|}{|b|^2} \left(\frac{\varepsilon|b|^2}{4|a|}\right) = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $. (Если $ a=0 $, второе слагаемое просто отсутствует). Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Если $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = b \neq 0 $, то $ \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} $.

Следствие из свойств 1° и 3°

Здесь доказывается теорема о пределе разности двух последовательностей, исходя из теорем о пределе суммы и произведения последовательности на число.

Дано:

Свойство 1° (предел суммы): Если $ \lim_{n \to \infty} u_n = A $ и $ \lim_{n \to \infty} v_n = B $, то $ \lim_{n \to \infty} (u_n + v_n) = A + B $.

Свойство 3° (предел произведения на константу): Если $ \lim_{n \to \infty} u_n = A $ и $ c $ — константа, то $ \lim_{n \to \infty} (c \cdot u_n) = c \cdot A $.

Нужно доказать (следствие): Если $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = b $, то $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = a - b $.

Доказательство:

Представим разность последовательностей $ \{x_n - y_n\} $ как сумму последовательности $ \{x_n\} $ и последовательности $ \{y_n\} $, умноженной на константу $ -1 $: $ x_n - y_n = x_n + (-1) \cdot y_n $.

Сначала найдем предел последовательности $ \{(-1) \cdot y_n\} $, используя Свойство 3°. Здесь $ u_n = y_n $, $ A=b $ и $ c = -1 $: $ \lim_{n \to \infty} ((-1) \cdot y_n) = (-1) \cdot \lim_{n \to \infty} y_n = -1 \cdot b = -b $.

Теперь мы можем найти предел исходного выражения, используя Свойство 1°. У нас есть две сходящиеся последовательности $ \{x_n\} $ с пределом $ a $ и $ \{(-1) \cdot y_n\} $ с пределом $ -b $. $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n \to \infty} (x_n + (-1) \cdot y_n) $.

Согласно свойству о пределе суммы, это равно сумме пределов: $ \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} ((-1) \cdot y_n) = a + (-b) = a - b $.

Следствие доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если $ \lim_{n \to \infty} x_n = a $ и $ \lim_{n \to \infty} y_n = b $, то $ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = a - b $.