Номер 6.38, страница 181 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.38. Является ли последовательность монотонной:

1) $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$;

2) $b_n = \frac{2+(-1)^n}{n}$;

3) $c_n = \sqrt{n^2+n}-n$;

4) $x_n = \sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$?

1) $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$
Для того чтобы определить, является ли последовательность монотонной, необходимо сравнить два соседних члена последовательности, $a_n$ и $a_{n+1}$.
$a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$.
Для любого натурального числа $n \ge 1$ справедливо неравенство $n+1 > n$.
Поскольку функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x > 0$, то $\sqrt{n+1} > \sqrt{n}$.
Так как оба выражения $\sqrt{n+1}$ и $\sqrt{n}$ положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}}$
Следовательно, $a_{n+1} < a_n$ для всех $n \ge 1$.
Это означает, что последовательность является строго убывающей. Всякая строго убывающая последовательность является монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго убывающей).

2) $b_n = \frac{2+(-1)^n}{n}$
Для анализа поведения последовательности вычислим ее первые несколько членов.
При $n=1$: $b_1 = \frac{2+(-1)^1}{1} = \frac{2-1}{1} = 1$.
При $n=2$: $b_2 = \frac{2+(-1)^2}{2} = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.
При $n=3$: $b_3 = \frac{2+(-1)^3}{3} = \frac{2-1}{3} = \frac{1}{3}$.
Сравнивая полученные значения, мы видим, что $b_1 < b_2$ (поскольку $1 < 1.5$), но в то же время $b_2 > b_3$ (поскольку $1.5 > 1/3$).
Поскольку последовательность не является ни неубывающей (возрастающей), ни невозрастающей (убывающей), она не является монотонной.
Ответ: нет, последовательность не является монотонной.

3) $c_n = \sqrt{n^2 + n} - n$
Чтобы исследовать последовательность на монотонность, преобразуем выражение для $n$-го члена, умножив и разделив его на сопряженное выражение:
$c_n = (\sqrt{n^2 + n} - n) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n}$.
Для удобства дальнейшего анализа вынесем $n$ из-под корня и из знаменателя в целом:
$c_n = \frac{n}{\sqrt{n^2(1+1/n)} + n} = \frac{n}{n\sqrt{1+1/n} + n} = \frac{n}{n(\sqrt{1+1/n} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}$.
Теперь сравним $c_n$ и $c_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{1+1/(n+1)} + 1}$.
Так как $n+1 > n$, то $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$.
Прибавляя 1 к обеим частям, получаем $1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{n}$.
Применяя возрастающую функцию квадратного корня, имеем $\sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} < \sqrt{1 + \frac{1}{n}}$.
Добавим 1 к обеим частям: $\sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} + 1 < \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1$.
Так как обе части неравенства положительны, при взятии обратной величины знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{1}{\sqrt{1+1/(n+1)} + 1} > \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1}$.
Таким образом, $c_{n+1} > c_n$ для всех $n \ge 1$. Последовательность является строго возрастающей, а значит, и монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго возрастающей).

4) $x_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$
Преобразуем выражение для $n$-го члена, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, из которой следует, что $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$.
Пусть $a=\sqrt[3]{n+1}$ и $b=\sqrt[3]{n}$. Тогда:
$x_n = \frac{(\sqrt[3]{n+1})^3 - (\sqrt[3]{n})^3}{(\sqrt[3]{n+1})^2 + \sqrt[3]{n+1}\sqrt[3]{n} + (\sqrt[3]{n})^2} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n(n+1)} + \sqrt[3]{n^2}}$.
$x_n = \frac{1}{\sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2}}$.
Рассмотрим знаменатель этой дроби, обозначив его как $D_n = \sqrt[3]{(n+1)^2} + \sqrt[3]{n^2+n} + \sqrt[3]{n^2}$.
Сравним $D_n$ и $D_{n+1} = \sqrt[3]{(n+2)^2} + \sqrt[3]{(n+1)(n+2)} + \sqrt[3]{(n+1)^2}$.
Для всех $n \ge 1$ выполняются неравенства:
$\sqrt[3]{(n+2)^2} > \sqrt[3]{(n+1)^2}$,
$\sqrt[3]{(n+1)(n+2)} > \sqrt[3]{n(n+1)}$,
$\sqrt[3]{(n+1)^2} > \sqrt[3]{n^2}$.
Так как каждое слагаемое в выражении для $D_{n+1}$ больше соответствующего слагаемого в $D_n$, то и вся сумма $D_{n+1} > D_n$.
Знаменатель $D_n$ является строго возрастающей последовательностью положительных чисел. Следовательно, последовательность $x_n = \frac{1}{D_n}$ является строго убывающей, так как мы берем обратную величину от возрастающей положительной последовательности.
Таким образом, $x_{n+1} < x_n$ для всех $n \ge 1$.
Последовательность является строго убывающей, а значит, и монотонной.
Ответ: да, последовательность является монотонной (строго убывающей).