Страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.68. Дана функция $y = x^2 + 4$. Найдите:

1) $\Delta x$ и $\Delta y$, если $x = 2,5$ и $x_0 = 2$.

2) $x$ и $\Delta y$, если $x_0 = 3$ и $\Delta x = 0,1$.

1) Дана функция $y = x^2 + 4$. По условию, начальное значение аргумента $x_0 = 2$ и конечное значение аргумента $x = 2,5$.

Приращение аргумента $\Delta x$ определяется как разность между конечным и начальным значениями аргумента: $\Delta x = x - x_0$.

Подставим заданные значения:

$\Delta x = 2,5 - 2 = 0,5$.

Приращение функции $\Delta y$ определяется как разность между значениями функции в конечной и начальной точках: $\Delta y = y(x) - y(x_0)$.

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0 = 2$ и $x = 2,5$.

Начальное значение функции: $y(x_0) = y(2) = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$.

Конечное значение функции: $y(x) = y(2,5) = (2,5)^2 + 4 = 6,25 + 4 = 10,25$.

Теперь найдем приращение функции:

$\Delta y = 10,25 - 8 = 2,25$.

Ответ: $\Delta x = 0,5$; $\Delta y = 2,25$.

2) Дана функция $y = x^2 + 4$. По условию, начальное значение аргумента $x_0 = 3$ и его приращение $\Delta x = 0,1$.

Конечное значение аргумента $x$ находится по формуле $x = x_0 + \Delta x$.

Подставим заданные значения:

$x = 3 + 0,1 = 3,1$.

Приращение функции $\Delta y$ находится по формуле $\Delta y = y(x) - y(x_0)$.

Сначала вычислим значения функции в точках $x_0 = 3$ и $x = 3,1$.

Начальное значение функции: $y(x_0) = y(3) = 3^2 + 4 = 9 + 4 = 13$.

Конечное значение функции: $y(x) = y(3,1) = (3,1)^2 + 4 = 9,61 + 4 = 13,61$.

Теперь найдем приращение функции:

$\Delta y = 13,61 - 13 = 0,61$.

Ответ: $x = 3,1$; $\Delta y = 0,61$.

6.69. Найдите приращение функции:

1) $y = 5 - 3x;$

2) $y = 3x^2;$

3) $y = 2\sqrt{x};$

4) $y = 2x - x^2.$

Приращение функции $Δy$ в точке $x$ находится по формуле $Δy = y(x + Δx) - y(x)$, где $Δx$ — приращение аргумента. Найдем приращение для каждой из заданных функций.

1) Для функции $y = 5 - 3x$.

Найдем значение функции в точке $x + Δx$:

$y(x + Δx) = 5 - 3(x + Δx) = 5 - 3x - 3Δx$.

Теперь вычислим приращение функции:

$Δy = y(x + Δx) - y(x) = (5 - 3x - 3Δx) - (5 - 3x) = 5 - 3x - 3Δx - 5 + 3x$.

После упрощения получаем:

$Δy = -3Δx$.

Ответ: $Δy = -3Δx$.

2) Для функции $y = 3x^2$.

Найдем значение функции в точке $x + Δx$:

$y(x + Δx) = 3(x + Δx)^2 = 3(x^2 + 2xΔx + (Δx)^2) = 3x^2 + 6xΔx + 3(Δx)^2$.

Теперь вычислим приращение функции:

$Δy = y(x + Δx) - y(x) = (3x^2 + 6xΔx + 3(Δx)^2) - 3x^2$.

После упрощения получаем:

$Δy = 6xΔx + 3(Δx)^2$.

Ответ: $Δy = 6xΔx + 3(Δx)^2$.

3) Для функции $y = 2\sqrt{x}$.

Найдем значение функции в точке $x + Δx$:

$y(x + Δx) = 2\sqrt{x + Δx}$.

Теперь вычислим приращение функции:

$Δy = y(x + Δx) - y(x) = 2\sqrt{x + Δx} - 2\sqrt{x}$.

Это можно записать в виде:

$Δy = 2(\sqrt{x + Δx} - \sqrt{x})$.

Ответ: $Δy = 2(\sqrt{x + Δx} - \sqrt{x})$.

4) Для функции $y = 2x - x^2$.

Найдем значение функции в точке $x + Δx$:

$y(x + Δx) = 2(x + Δx) - (x + Δx)^2 = 2x + 2Δx - (x^2 + 2xΔx + (Δx)^2) = 2x + 2Δx - x^2 - 2xΔx - (Δx)^2$.

Теперь вычислим приращение функции:

$Δy = y(x + Δx) - y(x) = (2x + 2Δx - x^2 - 2xΔx - (Δx)^2) - (2x - x^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$Δy = 2x + 2Δx - x^2 - 2xΔx - (Δx)^2 - 2x + x^2 = 2Δx - 2xΔx - (Δx)^2$.

Ответ: $Δy = 2Δx - 2xΔx - (Δx)^2$.

6.70. Покажите, что для функции $f(x) = kx + c$ верно равенство $\Delta y = k \cdot \Delta x$.

Чтобы доказать, что для функции $f(x) = kx + c$ верно равенство $\Delta y = k \cdot \Delta x$, необходимо воспользоваться определением приращения функции.

Приращение функции $\Delta y$ (также обозначаемое как $\Delta f(x)$) по определению равно разности значений функции в двух точках: $x_1$ и $x_0$. Обозначим $x_0 = x$ и $x_1 = x + \Delta x$, где $\Delta x$ — это приращение аргумента.

Таким образом, формула для приращения функции выглядит так:

$\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$

Теперь подставим в эту формулу нашу функцию $f(x) = kx + c$.

1. Найдём значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = k(x + \Delta x) + c$

2. Значение функции в точке $x$ нам дано:

$f(x) = kx + c$

3. Вычислим разность этих значений:

$\Delta y = (k(x + \Delta x) + c) - (kx + c)$

4. Раскроем скобки в выражении:

$\Delta y = kx + k \cdot \Delta x + c - kx - c$

5. Приведем подобные слагаемые. Члены $kx$ и $-kx$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $c$ и $-c$:

$\Delta y = (kx - kx) + (c - c) + k \cdot \Delta x$

$\Delta y = 0 + 0 + k \cdot \Delta x$

В результате получаем:

$\Delta y = k \cdot \Delta x$

Это и есть то равенство, которое требовалось доказать. Оно показывает, что для линейной функции приращение функции прямо пропорционально приращению аргумента, а коэффициент пропорциональности равен угловому коэффициенту $k$.

Ответ: Равенство $\Delta y = k \cdot \Delta x$ для функции $f(x) = kx + c$ доказано путем подстановки выражений для $f(x + \Delta x)$ и $f(x)$ в определение приращения функции и последующего упрощения.

6.71. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \frac{x}{x+1}$;

2) $y = \frac{x+1}{x^2 - 2x - 3}$;

3) $f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 1, \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1; \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \le 3, \\ 1-x^2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

1) $f(x) = \frac{x}{x+1}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция является дробно-рациональной. Она определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль.
Найдем точку разрыва: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Чтобы определить тип разрыва в точке $x = -1$, вычислим односторонние пределы:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x = -1$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

2. Построение графика.
- Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x = -1$.
Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$.
Прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота.
- Точки пересечения с осями.
С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{0}{0+1} = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: $y=0 \implies \frac{x}{x+1} = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Интервалы монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:
$f'(x) = (\frac{x}{x+1})' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Так как $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения, функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Экстремумов нет.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка $x=-1$ является точкой разрыва второго рода.

2) $y = \frac{x+1}{x^2 - 2x - 3}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция является дробно-рациональной. Найдем точки, где знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета или разложение на множители: $(x-3)(x+1) = 0$.
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.
Исследуем характер разрывов в точках $x=-1$ и $x=3$.
- Точка $x = -1$.
Упростим выражение функции при $x \neq -1$:
$y = \frac{x+1}{(x-3)(x+1)} = \frac{1}{x-3}$.
Найдем предел в точке $x=-1$:
$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{-1-3} = -\frac{1}{4}$.
Поскольку предел существует и конечен, точка $x=-1$ является точкой устранимого разрыва. На графике это будет "выколотая" точка с координатами $(-1, -1/4)$.
- Точка $x = 3$.
Вычислим односторонние пределы для упрощенной функции:
$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{+0} = +\infty$.
Поскольку пределы бесконечны, в точке $x=3$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=3$ — вертикальная асимптота.

2. Построение графика.
Будем строить график функции $y = \frac{1}{x-3}$ с выколотой точкой в $x=-1$.
- Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x-3} = 0$. Прямая $y=0$ (ось OX) — горизонтальная асимптота.
- Точки пересечения с осями.
С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(0, -1/3)$.
С осью OX: $y=0 \implies \frac{1}{x-3} = 0$, решений нет.
- Выколотая точка.
При $x=-1$, $y = -1/4 = -0.25$. Точка $(-1, -0.25)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$. Точка $x=-1$ — устранимый разрыв, точка $x=3$ — разрыв второго рода.

3) $f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция задана кусочно.
На интервале $(1, +\infty)$ функция $f(x) = 3x$ является линейной и непрерывной.
На интервале $(-\infty, 1)$ функция $f(x) = \frac{1}{x-1}$ является дробно-рациональной, ее знаменатель не обращается в ноль на этом интервале, следовательно, она непрерывна.
Исследуем точку "стыка" $x=1$.
- Значение функции в точке: $f(1) = 3 \cdot 1 = 3$.
- Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x) = 3$.
- Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=1$ функция терпит разрыв второго рода. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (слева).

2. Построение графика.
- Для $x \ge 1$ строим график $y = 3x$.
Это луч, выходящий из точки $(1, f(1)) = (1, 3)$. Точка $(1, 3)$ закрашенная.
Для построения возьмем еще одну точку, например, $x=2 \implies y = 3 \cdot 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
- Для $x < 1$ строим график $y = \frac{1}{x-1}$.
Это ветвь гиперболы.
Вертикальная асимптота: $x=1$ (уже нашли).
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x-1} = 0$. Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.
Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = \frac{1}{0-1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; 1) \cup [1; +\infty)$. В точке $x=1$ функция непрерывна справа, но имеет разрыв второго рода, если рассматривать ее на всей оси.

4) $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \le 3 \\ 1-x^2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция задана кусочно.
На интервале $(-\infty, 3)$ функция $y=2x+3$ (линейная) непрерывна.
На интервале $(3, +\infty)$ функция $y=1-x^2$ (квадратичная) непрерывна.
Исследуем точку "стыка" $x=3$.
- Значение функции в точке: $y(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$.
- Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} y(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x+3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$.
- Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} y(x) = \lim_{x \to 3^+} (1-x^2) = 1 - 3^2 = 1 - 9 = -8$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют и конечны, но не равны между собой ($\lim_{x \to 3^-} y(x) \neq \lim_{x \to 3^+} y(x)$), в точке $x=3$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка: $|-8 - 9| = 17$.

2. Построение графика.
- Для $x \le 3$ строим график $y = 2x+3$.
Это луч. Граничная точка: $x=3 \implies y = 9$. Точка $(3, 9)$ закрашенная.
Возьмем еще точку, например, пересечение с осью OY: $x=0 \implies y=3$. Точка $(0, 3)$.
- Для $x > 3$ строим график $y = 1-x^2$.
Это часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы $y=-x^2+1$ находится в точке $(0, 1)$.
На границе $x=3$ имеем "выколотую" точку: $y = 1 - 3^2 = -8$. Точка $(3, -8)$ не принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку: $x=4 \implies y = 1 - 4^2 = -15$. Точка $(4, -15)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Точка $x=3$ является точкой разрыва первого рода (скачок).

6.72. Если для функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$ выполнено равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ и функция не определена в точке $x_0$, то $x_0$ называется устранимой особой точкой. Например, функция $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Эта функция не определена в точке $x = 0$, но $f(-0) = f(+0) = 1$ и точка $x = 0$ является устранимой особой точкой. Эту функцию можно определить в точке $x = 0$ так, чтобы полученная функция была непрерывной в точке $x = 0$:

$f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \text{ если } x \neq 0, \\ 1, \text{ если } x = 0. \end{cases}$

Нетрудно показать, что функция $f_1(x)$ непрерывна в точке $x = 0$:

$\lim_{x \to 0} f_1(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = f_1(0).$

Определите по непрерывности следующие функции в указанных точках:

1) $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ в точке $x = 0;$

2) $f(x) = \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$ в точке $x = 81.$

1) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ в точке $x = 0$.

Данная функция не определена в точке $x = 0$, так как при подстановке этого значения в знаменателе получается ноль, а в числителе $\sqrt{1+0} - \sqrt{1-0} = 0$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Чтобы сделать функцию непрерывной в этой точке, необходимо ее доопределить. Для этого найдем предел функции при $x$, стремящемся к $0$. Если этот предел существует и конечен, то точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва.

Вычислим предел: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$.

Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в числителе, получаем:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1+x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

Так как $x \to 0$, но $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$

Теперь можно подставить $x = 0$ в полученное выражение:

$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{1+1} = 1$.

Предел равен 1. Это означает, что разрыв в точке $x=0$ устранимый. Мы можем доопределить функцию, положив ее значение в этой точке равным 1.

Ответ: Чтобы функция стала непрерывной в точке $x=0$, ее нужно определить следующим образом: $f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases}$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$ в точке $x = 81$.

При подстановке $x = 81$ в функцию получаем в числителе $3 - \sqrt[4]{81} = 3-3=0$ и в знаменателе $9 - \sqrt{81} = 9-9=0$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$, поэтому функция в данной точке не определена.

Чтобы устранить разрыв, найдем предел функции при $x \to 81$.

$\lim_{x \to 81} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$:

$9 - \sqrt{x} = 3^2 - (\sqrt[4]{x})^2 = (3 - \sqrt[4]{x})(3 + \sqrt[4]{x})$

Подставим это разложение в предел:

$\lim_{x \to 81} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{(3 - \sqrt[4]{x})(3 + \sqrt[4]{x})}$

Так как $x \to 81$, но $x \neq 81$, то $\sqrt[4]{x} \neq 3$, и мы можем сократить дробь на $(3 - \sqrt[4]{x})$:

$\lim_{x \to 81} \frac{1}{3 + \sqrt[4]{x}}$

Теперь подставим значение $x=81$:

$\frac{1}{3 + \sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

Предел существует и равен $\frac{1}{6}$. Следовательно, разрыв в точке $x=81$ является устранимым. Доопределим функцию, положив $f(81) = \frac{1}{6}$.

Ответ: Непрерывная в точке $x=81$ функция имеет вид: $f_1(x) = \begin{cases} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}, & \text{если } x \neq 81 \\ \frac{1}{6}, & \text{если } x = 81 \end{cases}$.