Номер 6.72, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.72. Если для функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$ выполнено равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ и функция не определена в точке $x_0$, то $x_0$ называется устранимой особой точкой. Например, функция $f(x) = \frac{\sin x}{x}$. Эта функция не определена в точке $x = 0$, но $f(-0) = f(+0) = 1$ и точка $x = 0$ является устранимой особой точкой. Эту функцию можно определить в точке $x = 0$ так, чтобы полученная функция была непрерывной в точке $x = 0$:

$f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, \text{ если } x \neq 0, \\ 1, \text{ если } x = 0. \end{cases}$

Нетрудно показать, что функция $f_1(x)$ непрерывна в точке $x = 0$:

$\lim_{x \to 0} f_1(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 = f_1(0).$

Определите по непрерывности следующие функции в указанных точках:

1) $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ в точке $x = 0;$

2) $f(x) = \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$ в точке $x = 81.$

1) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$ в точке $x = 0$.

Данная функция не определена в точке $x = 0$, так как при подстановке этого значения в знаменателе получается ноль, а в числителе $\sqrt{1+0} - \sqrt{1-0} = 0$. Мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Чтобы сделать функцию непрерывной в этой точке, необходимо ее доопределить. Для этого найдем предел функции при $x$, стремящемся к $0$. Если этот предел существует и конечен, то точка $x=0$ является точкой устранимого разрыва.

Вычислим предел: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$.

Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})$:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2 - (\sqrt{1-x})^2}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в числителе, получаем:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - (1-x)}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1+x-1+x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})}$

Так как $x \to 0$, но $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}$

Теперь можно подставить $x = 0$ в полученное выражение:

$\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{1+1} = 1$.

Предел равен 1. Это означает, что разрыв в точке $x=0$ устранимый. Мы можем доопределить функцию, положив ее значение в этой точке равным 1.

Ответ: Чтобы функция стала непрерывной в точке $x=0$, ее нужно определить следующим образом: $f_1(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases}$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$ в точке $x = 81$.

При подстановке $x = 81$ в функцию получаем в числителе $3 - \sqrt[4]{81} = 3-3=0$ и в знаменателе $9 - \sqrt{81} = 9-9=0$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$, поэтому функция в данной точке не определена.

Чтобы устранить разрыв, найдем предел функции при $x \to 81$.

$\lim_{x \to 81} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}$

Заметим, что знаменатель можно разложить на множители как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$:

$9 - \sqrt{x} = 3^2 - (\sqrt[4]{x})^2 = (3 - \sqrt[4]{x})(3 + \sqrt[4]{x})$

Подставим это разложение в предел:

$\lim_{x \to 81} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{(3 - \sqrt[4]{x})(3 + \sqrt[4]{x})}$

Так как $x \to 81$, но $x \neq 81$, то $\sqrt[4]{x} \neq 3$, и мы можем сократить дробь на $(3 - \sqrt[4]{x})$:

$\lim_{x \to 81} \frac{1}{3 + \sqrt[4]{x}}$

Теперь подставим значение $x=81$:

$\frac{1}{3 + \sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$

Предел существует и равен $\frac{1}{6}$. Следовательно, разрыв в точке $x=81$ является устранимым. Доопределим функцию, положив $f(81) = \frac{1}{6}$.

Ответ: Непрерывная в точке $x=81$ функция имеет вид: $f_1(x) = \begin{cases} \frac{3 - \sqrt[4]{x}}{9 - \sqrt{x}}, & \text{если } x \neq 81 \\ \frac{1}{6}, & \text{если } x = 81 \end{cases}$.