Номер 6.76, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.76. При каком значении параметра $p$ функция $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+7}-4}{x^2-5x+6}, & \text{если } x \neq 3, \\ p, & \text{если } x=3 \end{cases}$ непрерывна в точке $x = 3$?

Функция $f(x)$ будет непрерывной в точке $x = 3$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке. Условие непрерывности функции в точке $x=a$ записывается как:

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

В данном случае $a=3$. По условию, значение функции в этой точке $f(3) = p$. Таким образом, для непрерывности функции в точке $x=3$ должно выполняться равенство:

$p = \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 7} - 4}{x^2 - 5x + 6}$

Найдем значение этого предела. Прямая подстановка значения $x = 3$ в выражение под знаком предела приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$:

$\frac{\sqrt{3^2 + 7} - 4}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{\sqrt{16} - 4}{9 - 15 + 6} = \frac{4 - 4}{0} = \frac{0}{0}$

Для раскрытия этой неопределенности, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на $(\sqrt{x^2 + 7} + 4)$.

$\lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x^2 + 7} - 4)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{x^2 + 7})^2 - 4^2 = (x^2 + 7) - 16 = x^2 - 9$

Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Знаменатель: $x^2 - 5x + 6$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Подставим полученные разложения в предел:

$\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x - 3)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

Так как $x$ стремится к 3, но не равно 3, то множитель $(x - 3)$ не равен нулю, и на него можно сократить:

$\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 7} + 4)}$

Теперь мы можем подставить $x = 3$ в полученное выражение, так как неопределенность устранена:

$\frac{3 + 3}{(3 - 2)(\sqrt{3^2 + 7} + 4)} = \frac{6}{1 \cdot (\sqrt{9 + 7} + 4)} = \frac{6}{\sqrt{16} + 4} = \frac{6}{4 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Таким образом, предел функции равен $\frac{3}{4}$. Из условия непрерывности $p = \lim_{x \to 3} f(x)$ следует, что $p = \frac{3}{4}$.

Ответ: $p = \frac{3}{4}$.