Номер 6.83, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.83. 1) $\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x}}{2x}$;

3) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$;

4) $\lim_{x \to 15} \frac{\sqrt[4]{x+1} - 2}{\sqrt{x+1} - 4}$.

1) Для нахождения предела $\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы, чтобы избавиться от кубических корней в числителе, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Пусть $a = \sqrt[3]{x+h}$ и $b = \sqrt[3]{x}$. Тогда сопряженное выражение будет $a^2+ab+b^2 = (\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{x+h}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2$.
$\lim_{h\to0} \frac{\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x}}{h} = \lim_{h\to0} \frac{(\sqrt[3]{x+h} - \sqrt[3]{x})((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{h((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)}$
В числителе получаем разность кубов:
$(\sqrt[3]{x+h})^3 - (\sqrt[3]{x})^3 = (x+h) - x = h$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{h\to0} \frac{h}{h((\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + (\sqrt[3]{x})^2)} = \lim_{h\to0} \frac{1}{(\sqrt[3]{x+h})^2 + \sqrt[3]{(x+h)x} + \sqrt[3]{x^2}}$
Теперь можно подставить $h=0$:
$\frac{1}{(\sqrt[3]{x+0})^2 + \sqrt[3]{(x+0)x} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
Ответ: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

2)Для нахождения предела $\lim_{x\to0} \frac{\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x}}{2x}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Используем тот же метод, что и в предыдущем задании, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение, чтобы применить формулу разности кубов.
Пусть $a = \sqrt[3]{1-x}$ и $b = \sqrt[3]{1+x}$. Сопряженное выражение: $(\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{(1-x)(1+x)} + (\sqrt[3]{1+x})^2$.
$\lim_{x\to0} \frac{(\sqrt[3]{1-x} - \sqrt[3]{1+x})((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)}{2x((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)}$
В числителе получаем: $(1-x) - (1+x) = 1-x-1-x = -2x$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{x\to0} \frac{-2x}{2x((\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2)} = \lim_{x\to0} \frac{-1}{(\sqrt[3]{1-x})^2 + \sqrt[3]{1-x^2} + (\sqrt[3]{1+x})^2}$
Теперь подставляем $x=0$:
$\frac{-1}{(\sqrt[3]{1-0})^2 + \sqrt[3]{1-0^2} + (\sqrt[3]{1+0})^2} = \frac{-1}{1+1+1} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

3)Для нахождения предела $\lim_{x\to2} \frac{\sqrt{x^2+5} - 3}{x-2}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности в числителе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{x^2+5} + 3$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\lim_{x\to2} \frac{(\sqrt{x^2+5} - 3)(\sqrt{x^2+5} + 3)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)} = \lim_{x\to2} \frac{(x^2+5) - 3^2}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)}$
Упрощаем числитель:
$x^2+5 - 9 = x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
Подставляем обратно в предел:
$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{x^2+5} + 3)} = \lim_{x\to2} \frac{x+2}{\sqrt{x^2+5} + 3}$
Теперь можно подставить $x=2$:
$\frac{2+2}{\sqrt{2^2+5} + 3} = \frac{4}{\sqrt{9} + 3} = \frac{4}{3+3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4)Для нахождения предела $\lim_{x\to15} \frac{\sqrt[4]{x+1} - 2}{\sqrt{x+1} - 4}$ мы имеем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для упрощения выражения введем замену переменной.
Пусть $y = \sqrt[4]{x+1}$. Когда $x \to 15$, то $x+1 \to 16$, и $y \to \sqrt[4]{16} = 2$.
Также выразим $\sqrt{x+1}$ через $y$: $\sqrt{x+1} = (\sqrt[4]{x+1})^2 = y^2$.
Теперь предел можно переписать в терминах $y$:
$\lim_{y\to2} \frac{y-2}{y^2-4}$
Знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$.
$\lim_{y\to2} \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} = \lim_{y\to2} \frac{1}{y+2}$
Теперь подставляем $y=2$:
$\frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.