Номер 7.2, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.2. Для функции $y = f(x)$ найдите $\Delta y$ и $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ в указанной точке $x = x_0$:

1) $y = -3, x_0 = 2, \Delta x = 0,01;$

2) $y = 4 - 3x, x_0 = -2, \Delta x = 0,3;$

3) $y = 2 - x^2, x_0 = 1, \Delta x = 0,1;$

4) $y = \frac{4x - 2}{x}, x_0 = -1, \Delta x = -0,1.$

1) Дана функция $y = f(x) = -3$, точка $x_0 = 2$ и приращение аргумента $Δx = 0,01$.

Приращение функции $Δy$ вычисляется по формуле: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = 2 + 0,01 = 2,01$.

Найдем значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$. Поскольку функция является константой, ее значение не зависит от аргумента.

$f(x_0) = f(2) = -3$

$f(x_0 + Δx) = f(2,01) = -3$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(2,01) - f(2) = -3 - (-3) = 0$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{0}{0,01} = 0$

Ответ: $Δy = 0$; $\frac{Δy}{Δx} = 0$.

2) Дана функция $y = f(x) = 4 - 3x$, точка $x_0 = -2$ и приращение аргумента $Δx = 0,3$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = -2 + 0,3 = -1,7$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(-2) = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$

$f(x_0 + Δx) = f(-1,7) = 4 - 3 \cdot (-1,7) = 4 + 5,1 = 9,1$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(-1,7) - f(-2) = 9,1 - 10 = -0,9$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-0,9}{0,3} = -3$

Ответ: $Δy = -0,9$; $\frac{Δy}{Δx} = -3$.

3) Дана функция $y = f(x) = 2 - x^2$, точка $x_0 = 1$ и приращение аргумента $Δx = 0,1$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = 1 + 0,1 = 1,1$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(1) = 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$

$f(x_0 + Δx) = f(1,1) = 2 - (1,1)^2 = 2 - 1,21 = 0,79$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(1,1) - f(1) = 0,79 - 1 = -0,21$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-0,21}{0,1} = -2,1$

Ответ: $Δy = -0,21$; $\frac{Δy}{Δx} = -2,1$.

4) Дана функция $y = f(x) = \frac{4x - 2}{x}$, точка $x_0 = -1$ и приращение аргумента $Δx = -0,1$.

Формула для приращения функции: $Δy = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.

Найдем значение аргумента в новой точке: $x_0 + Δx = -1 + (-0,1) = -1,1$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(-1) = \frac{4(-1) - 2}{-1} = \frac{-4 - 2}{-1} = \frac{-6}{-1} = 6$

$f(x_0 + Δx) = f(-1,1) = \frac{4(-1,1) - 2}{-1,1} = \frac{-4,4 - 2}{-1,1} = \frac{-6,4}{-1,1} = \frac{64}{11}$

Теперь найдем приращение функции $Δy$:

$Δy = f(-1,1) - f(-1) = \frac{64}{11} - 6 = \frac{64}{11} - \frac{66}{11} = -\frac{2}{11}$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента $\frac{Δy}{Δx}$:

$\frac{Δy}{Δx} = \frac{-2/11}{-0,1} = \frac{-2/11}{-1/10} = \frac{2}{11} \cdot \frac{10}{1} = \frac{20}{11}$

Ответ: $Δy = -\frac{2}{11}$; $\frac{Δy}{Δx} = \frac{20}{11}$.