Номер 6.85, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.85. 1) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$;

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\text{tg } x - \sin x}{x^3}$;

3) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2}$.

1) Для вычисления предела $lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Воспользуемся вторым замечательным пределом, следствием из которого является формула $lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos u}{u^2} = \frac{1}{2}$.

Преобразуем исходное выражение:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{3x^2} = lim_{x \to 0} \frac{-(1 - \cos x)}{3x^2} = -\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

Теперь, применяя известный предел, получаем:

$-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

2) Найдем предел $lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3}$. При $x \to 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Выполним преобразования, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$lim_{x \to 0} \frac{\tg x - \sin x}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}}{x^3} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$

Разделим предел на произведение нескольких пределов, используя первый замечательный предел $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ и его следствие $lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$:

$lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\frac{1 - \cos x}{x^2}\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right) = \left(lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\right) \cdot \left(lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$

Вычисляем каждый предел отдельно:

$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$

Перемножая результаты, получаем:

$1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Вычислим предел $lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и знаменатель на $x$.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin 2x}{x + \sin 3x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{x} - \frac{\sin 2x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{\sin 3x}{x}} = lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{\sin 2x}{x}}{1 + \frac{\sin 3x}{x}}$

Воспользуемся обобщением первого замечательного предела: $lim_{u \to 0} \frac{\sin(ku)}{u} = k$.

Для числителя: $lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$.

Для знаменателя: $lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$.

Подставим найденные значения в основное выражение:

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}}{1 + lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}} = \frac{1 - 2}{1 + 3} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

4) Найдем предел $lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2}$. Здесь также неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия можно использовать правило Лопиталя дважды, либо применить тригонометрическую формулу разности косинусов. Мы воспользуемся другим методом: прибавим и вычтем 1 в числителе.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - \cos nx}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{(\cos mx - 1) - (\cos nx - 1)}{x^2}$

Разделим предел на разность двух пределов:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{x^2} - lim_{x \to 0} \frac{\cos nx - 1}{x^2}$

Рассмотрим первый предел. Используя следствие из второго замечательного предела $lim_{u \to 0} \frac{\cos u - 1}{u^2} = -\frac{1}{2}$, преобразуем его:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{\cos mx - 1}{(mx)^2} \cdot m^2 = m^2 \cdot \left(lim_{mx \to 0} \frac{\cos(mx) - 1}{(mx)^2}\right) = m^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{m^2}{2}$

Аналогично для второго предела:

$lim_{x \to 0} \frac{\cos nx - 1}{x^2} = n^2 \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{n^2}{2}$

Теперь найдем разность этих значений:

$\left(-\frac{m^2}{2}\right) - \left(-\frac{n^2}{2}\right) = -\frac{m^2}{2} + \frac{n^2}{2} = \frac{n^2 - m^2}{2}$

Ответ: $\frac{n^2 - m^2}{2}$