Номер 6.86, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.86. 1) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{1 - 2\cos x}{\pi - 3x}$;

2) $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{1 - 2\cos x}$.

1) Найдём предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{1-2\cos x}{\pi-3x}$.

При подстановке предельного значения $x = \frac{\pi}{3}$ в числитель и знаменатель дроби, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $1 - 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$.

Знаменатель: $\pi - 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi - \pi = 0$.

Для раскрытия неопределенности выполним замену переменной. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Отсюда $x = t + \frac{\pi}{3}$. Когда $x \to \frac{\pi}{3}$, то $t \to 0$.

Подставим новую переменную в исходное выражение.Знаменатель преобразуется к виду: $\pi - 3x = \pi - 3(t + \frac{\pi}{3}) = \pi - 3t - \pi = -3t$.

Числитель преобразуется следующим образом, используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$1 - 2\cos x = 1 - 2\cos(t + \frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cos\frac{\pi}{3} - \sin t \sin\frac{\pi}{3}) = 1 - 2(\cos t \cdot \frac{1}{2} - \sin t \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$.

Теперь исходный предел можно переписать как:

$\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}{-3t}$.

Разделим предел на сумму двух пределов:

$\lim_{t\to 0} \left(\frac{1 - \cos t}{-3t} + \frac{\sqrt{3}\sin t}{-3t}\right) = \lim_{t\to 0} \left(-\frac{1}{3}\frac{1 - \cos t}{t}\right) - \lim_{t\to 0} \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sin t}{t}\right)$.

Используя первый замечательный предел $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ и его следствие $\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} = 0$, получаем:

$-\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Другой способ решения — правило Лопиталя. Производная числителя: $(1-2\cos x)' = 2\sin x$. Производная знаменателя: $(\pi-3x)' = -3$. Тогда предел равен:

$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{2\sin x}{-3} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{3})}{-3} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

2) Найдём предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)}{1-2\cos x}$.

При подстановке $x = \frac{\pi}{3}$ в числитель и знаменатель также получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \sin(0) = 0$.

Знаменатель: $1 - 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$.

Сделаем ту же замену переменной, что и в первом пункте: $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда $x = t + \frac{\pi}{3}$, и при $x \to \frac{\pi}{3}$ имеем $t \to 0$.

Подставим новую переменную в выражение:

$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{1-2\cos(t + \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель, как мы уже выяснили в предыдущем пункте, равен $1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t$.

Таким образом, предел принимает вид:

$\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{1 - \cos t + \sqrt{3}\sin t}$.

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на $t$ (так как $t \to 0$, $t \ne 0$):

$\lim_{t\to 0} \frac{\frac{\sin t}{t}}{\frac{1 - \cos t}{t} + \frac{\sqrt{3}\sin t}{t}} = \frac{\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}}{\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} + \sqrt{3}\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t}}$.

Используя первый замечательный предел $\lim_{t\to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ и его следствие $\lim_{t\to 0} \frac{1 - \cos t}{t} = 0$, получаем:

$\frac{1}{0 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

По правилу Лопиталя: производная числителя $(\sin(x-\frac{\pi}{3}))' = \cos(x-\frac{\pi}{3})$. Производная знаменателя $(1-2\cos x)' = 2\sin x$. Предел равен:

$\lim_{x\to\frac{\pi}{3}} \frac{\cos(x-\frac{\pi}{3})}{2\sin x} = \frac{\cos(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3})}{2\sin(\frac{\pi}{3})} = \frac{\cos(0)}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.