Номер 6.84, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.84. 1) $\lim_{x \to 0.4} \frac{125x^3 - 150x^2 + 60x - 8}{25x^2 - 20x + 4}$;

2) $\lim_{x \to \frac{1}{4}} \frac{16x^3 - 40x^2 - 23x - 3}{16x^3 + 56x^2 + 25x + 3}$;

3) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4}$;

4) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}$.

1) Вычислим предел $\lim_{x \to 0,4} \frac{125x^3 - 150x^2 + 60x - 8}{25x^2 - 20x + 4}$.
При подстановке $x = 0,4 = \frac{2}{5}$ в выражение под знаком предела, мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:
Числитель: $125(\frac{2}{5})^3 - 150(\frac{2}{5})^2 + 60(\frac{2}{5}) - 8 = 125 \cdot \frac{8}{125} - 150 \cdot \frac{4}{25} + \frac{120}{5} - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0$.
Знаменатель: $25(\frac{2}{5})^2 - 20(\frac{2}{5}) + 4 = 25 \cdot \frac{4}{25} - \frac{40}{5} + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители. Заметим, что они являются формулами сокращенного умножения.
Знаменатель: $25x^2 - 20x + 4 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = (5x-2)^2$.
Числитель: $125x^3 - 150x^2 + 60x - 8 = (5x)^3 - 3 \cdot (5x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 5x \cdot 2^2 - 2^3 = (5x-2)^3$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to 0,4} \frac{(5x-2)^3}{(5x-2)^2} = \lim_{x \to 0,4} (5x-2) = 5 \cdot 0,4 - 2 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: $0$.

2) Вычислим предел $\lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{16x^3 - 40x^2 - 23x - 3}{16x^3 + 56x^2 + 25x + 3}$.
При подстановке $x = -\frac{1}{4}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $16(-\frac{1}{64}) - 40(\frac{1}{16}) - 23(-\frac{1}{4}) - 3 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{2} + \frac{23}{4} - 3 = \frac{-1-10+23-12}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Знаменатель: $16(-\frac{1}{64}) + 56(\frac{1}{16}) + 25(-\frac{1}{4}) + 3 = -\frac{1}{4} + \frac{7}{2} - \frac{25}{4} + 3 = \frac{-1+14-25+12}{4} = \frac{0}{4} = 0$.
Поскольку $x = -\frac{1}{4}$ является корнем многочленов в числителе и знаменателе, то оба многочлена делятся на $(x + \frac{1}{4})$ или, что эквивалентно, на $(4x+1)$.
Разложим числитель: $16x^3 - 40x^2 - 23x - 3 = (4x+1)(4x^2 - 11x - 3)$. У многочлена $4x^2 - 11x - 3$ корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$, поэтому $4x^2 - 11x - 3 = 4(x-3)(x+\frac{1}{4}) = (x-3)(4x+1)$. Следовательно, числитель равен $(4x+1)^2(x-3)$.
Разложим знаменатель: $16x^3 + 56x^2 + 25x + 3 = (4x+1)(4x^2 + 13x + 3)$. У многочлена $4x^2 + 13x + 3$ корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -\frac{1}{4}$, поэтому $4x^2 + 13x + 3 = 4(x+3)(x+\frac{1}{4}) = (x+3)(4x+1)$. Следовательно, знаменатель равен $(4x+1)^2(x+3)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{(4x+1)^2(x-3)}{(4x+1)^2(x+3)} = \lim_{x \to -\frac{1}{4}} \frac{x-3}{x+3} = \frac{-\frac{1}{4}-3}{-\frac{1}{4}+3} = \frac{-\frac{13}{4}}{\frac{11}{4}} = -\frac{13}{11}$.
Ответ: $-\frac{13}{11}$.

3) Вычислим предел $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 4x + 4}{x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4}$.
При подстановке $x = -2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $(-2)^2 + 4(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Знаменатель: $(-2)^4 + 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 4 = 16 - 16 - 12 + 8 + 4 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Знаменатель: поскольку $x = -2$ является корнем многочлена, он делится на $(x+2)$. Так как подстановка $x=-2$ в производную знаменателя также дает ноль, то $x=-2$ является корнем кратности не менее 2. Разделим многочлен $x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4$ на $(x+2)^2 = x^2+4x+4$ столбиком или по схеме Горнера дважды.
$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x + 4 = (x+2)(x^3 - 3x + 2) = (x+2)(x+2)(x^2-2x+1) = (x+2)^2(x-1)^2$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2(x-1)^2} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{1}{(-2-1)^2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

4) Вычислим предел $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}$.
При подстановке $x = 3$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
Числитель: $3^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.
Знаменатель: $3^3 - 3(3^2) - 4(3) + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни уравнения $x_1 = 3, x_2 = -1$. Тогда $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$.
Знаменатель разложим методом группировки:
$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x^2-4)(x-3) = (x-2)(x+2)(x-3)$.
Подставим разложения в предел:
$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-2)(x+2)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{(x-2)(x+2)} = \frac{3+1}{(3-2)(3+2)} = \frac{4}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.