Номер 6.78, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.78. Покажите, что последовательность ${a_n}$ имеет предел, и найдите этот предел, если $a_1 = a, a_2 = b, a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$.

Данная последовательность определяется линейным рекуррентным соотношением второго порядка. Для того чтобы доказать, что предел существует, и найти его, мы найдем явную формулу для n-го члена последовательности $a_n$. Существование конечного предела у этой формулы при $n \to \infty$ будет доказывать, что и исходная последовательность имеет предел.

Рекуррентное соотношение имеет вид: $a_{n+2} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2}$.

Перепишем его в стандартной форме для однородного линейного рекуррентного уравнения:

$2a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0$

Составим соответствующее характеристическое уравнение, заменив $a_k$ на $r^k$ и разделив на $r^n$:

$2r^2 - r - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно разложить левую часть на множители:

$2r^2 - 2r + r - 1 = 0$

$2r(r - 1) + 1(r - 1) = 0$

$(2r + 1)(r - 1) = 0$

Корни характеристического уравнения: $r_1 = 1$ и $r_2 = -\frac{1}{2}$.

Поскольку корни различны, общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

$a_n = C_1 r_1^n + C_2 r_2^n = C_1 (1)^n + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^n$

где $C_1$ и $C_2$ — константы, которые мы определим из начальных условий: $a_1 = a$ и $a_2 = b$.

Подставим $n=1$ и $n=2$ в общее решение, чтобы получить систему уравнений для $C_1$ и $C_2$:

Для $n=1$: $a_1 = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^1 = C_1 - \frac{C_2}{2} = a$

Для $n=2$: $a_2 = C_1 + C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = C_1 + \frac{C_2}{4} = b$

Получили систему:

$\begin{cases} C_1 - \frac{C_2}{2} = a \\ C_1 + \frac{C_2}{4} = b \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $C_2$:

$(C_1 + \frac{C_2}{4}) - (C_1 - \frac{C_2}{2}) = b - a$

$\frac{C_2}{4} + \frac{C_2}{2} = b - a$

$\frac{3C_2}{4} = b - a$

$C_2 = \frac{4}{3}(b - a)$

Теперь найдем $C_1$, подставив найденное значение $C_2$ во второе уравнение системы:

$C_1 + \frac{1}{4} \left( \frac{4}{3}(b - a) \right) = b$

$C_1 + \frac{1}{3}(b - a) = b$

$C_1 = b - \frac{1}{3}(b - a) = b - \frac{b}{3} + \frac{a}{3} = \frac{3b - b + a}{3} = \frac{a + 2b}{3}$

Таким образом, мы нашли константы $C_1$ и $C_2$ и можем записать явную формулу для $a_n$:

$a_n = \frac{a + 2b}{3} + \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n$

Теперь, когда у нас есть явная формула для члена последовательности, мы можем найти ее предел при $n \to \infty$.

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a + 2b}{3} + \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n \right)$

Поскольку $|-\frac{1}{2}| < 1$, предел степенного члена равен нулю:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^n = 0$

Следовательно, второй член в выражении для $a_n$ стремится к нулю:

$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{3}(b - a) \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{4}{3}(b - a) \cdot 0 = 0$

Таким образом, предел последовательности существует и равен:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{a + 2b}{3} + 0 = \frac{a + 2b}{3}$

Мы показали, что предел существует, и нашли его значение.

Ответ: Предел последовательности существует и равен $\frac{a + 2b}{3}$.