Номер 6.75, страница 191 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.75. Подберите параметры a и b так, чтобы функция f(x) была непрерывной:

1) $f(x) = \begin{cases} ax + 1, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x + b, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} |x^2 - 5x + 6|, & \text{если } x > 2 \\ ax - b, & \text{если } x \le 2 \end{cases}$

1) Функция $f(x)$ задана кусочно. На интервалах $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$ она непрерывна, так как состоит из непрерывных функций: $y=ax+1$ (линейная) и $y=\sin x + b$ (сумма тригонометрической функции и константы).

Для того чтобы функция была непрерывной на всей числовой оси, необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в точке "склейки" $x = \frac{\pi}{2}$.

Условие непрерывности в точке $x_0$ — это равенство односторонних пределов значению функции в этой точке: $\lim_{x\to x_0-} f(x) = \lim_{x\to x_0+} f(x) = f(x_0)$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$:

1. Левосторонний предел (и значение функции, так как по условию $x \le \frac{\pi}{2}$):

$f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} f(x) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} (ax+1) = a \cdot \frac{\pi}{2} + 1$.

2. Правосторонний предел (по условию $x > \frac{\pi}{2}$):

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}+} f(x) = \lim_{x\to \frac{\pi}{2}+} (\sin x + b) = \sin(\frac{\pi}{2}) + b = 1 + b$.

Приравниваем полученные выражения, чтобы обеспечить непрерывность:

$a \cdot \frac{\pi}{2} + 1 = 1 + b$.

Упрощая, получаем искомое соотношение между параметрами $a$ и $b$:

$a \cdot \frac{\pi}{2} = b$.

Таким образом, функция будет непрерывной для любой пары чисел $(a, b)$, удовлетворяющей данному условию.

Ответ: $b = a\frac{\pi}{2}$.

2) Функция $f(x)$ задана кусочно. На интервалах $(-\infty, 2]$ и $(2, +\infty)$ она непрерывна, так как состоит из непрерывных функций: $y=ax-b$ (линейная) и $y=|x^2-5x+6|$ (модуль квадратичной функции).

Для непрерывности функции $f(x)$ на всей числовой прямой нужно обеспечить ее непрерывность в точке "склейки" $x=2$.

Условие непрерывности в точке $x=2$: $\lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2+} f(x) = f(2)$.

Найдем односторонние пределы и значение функции в точке $x = 2$:

1. Левосторонний предел (и значение функции, так как по условию $x \le 2$):

$f(2) = \lim_{x\to 2-} f(x) = \lim_{x\to 2-} (ax-b) = a \cdot 2 - b = 2a - b$.

2. Правосторонний предел (по условию $x > 2$):

$\lim_{x\to 2+} f(x) = \lim_{x\to 2+} |x^2-5x+6| = |2^2 - 5 \cdot 2 + 6| = |4 - 10 + 6| = |0| = 0$.

Приравниваем полученные выражения для обеспечения непрерывности:

$2a - b = 0$.

Отсюда находим соотношение между параметрами $a$ и $b$:

$b = 2a$.

Таким образом, функция будет непрерывной для любой пары чисел $(a, b)$, удовлетворяющей данному условию.

Ответ: $b = 2a$.