Номер 6.71, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.71. Исследуйте функцию на непрерывность и постройте ее график:

1) $f(x) = \frac{x}{x+1}$;

2) $y = \frac{x+1}{x^2 - 2x - 3}$;

3) $f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 1, \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1; \end{cases}$

4) $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \le 3, \\ 1-x^2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

1) $f(x) = \frac{x}{x+1}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция является дробно-рациональной. Она определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точек, где знаменатель обращается в ноль.
Найдем точку разрыва: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
Область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
Чтобы определить тип разрыва в точке $x = -1$, вычислим односторонние пределы:
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{-0} = +\infty$
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{x+1} = \frac{-1}{+0} = -\infty$
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x = -1$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

2. Построение графика.
- Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x = -1$.
Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$.
Прямая $y=1$ — горизонтальная асимптота.
- Точки пересечения с осями.
С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{0}{0+1} = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью OX: $y=0 \implies \frac{x}{x+1} = 0 \implies x = 0$. Точка $(0, 0)$.
- Интервалы монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:
$f'(x) = (\frac{x}{x+1})' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.
Так как $f'(x) > 0$ при всех $x$ из области определения, функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Экстремумов нет.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Точка $x=-1$ является точкой разрыва второго рода.

2) $y = \frac{x+1}{x^2 - 2x - 3}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция является дробно-рациональной. Найдем точки, где знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета или разложение на множители: $(x-3)(x+1) = 0$.
Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.
Исследуем характер разрывов в точках $x=-1$ и $x=3$.
- Точка $x = -1$.
Упростим выражение функции при $x \neq -1$:
$y = \frac{x+1}{(x-3)(x+1)} = \frac{1}{x-3}$.
Найдем предел в точке $x=-1$:
$\lim_{x \to -1} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{-1-3} = -\frac{1}{4}$.
Поскольку предел существует и конечен, точка $x=-1$ является точкой устранимого разрыва. На графике это будет "выколотая" точка с координатами $(-1, -1/4)$.
- Точка $x = 3$.
Вычислим односторонние пределы для упрощенной функции:
$\lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
$\lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3} = \frac{1}{+0} = +\infty$.
Поскольку пределы бесконечны, в точке $x=3$ функция имеет разрыв второго рода. Прямая $x=3$ — вертикальная асимптота.

2. Построение графика.
Будем строить график функции $y = \frac{1}{x-3}$ с выколотой точкой в $x=-1$.
- Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x-3} = 0$. Прямая $y=0$ (ось OX) — горизонтальная асимптота.
- Точки пересечения с осями.
С осью OY: $x=0 \implies y = \frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(0, -1/3)$.
С осью OX: $y=0 \implies \frac{1}{x-3} = 0$, решений нет.
- Выколотая точка.
При $x=-1$, $y = -1/4 = -0.25$. Точка $(-1, -0.25)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$. Точка $x=-1$ — устранимый разрыв, точка $x=3$ — разрыв второго рода.

3) $f(x) = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{1}{x-1}, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция задана кусочно.
На интервале $(1, +\infty)$ функция $f(x) = 3x$ является линейной и непрерывной.
На интервале $(-\infty, 1)$ функция $f(x) = \frac{1}{x-1}$ является дробно-рациональной, ее знаменатель не обращается в ноль на этом интервале, следовательно, она непрерывна.
Исследуем точку "стыка" $x=1$.
- Значение функции в точке: $f(1) = 3 \cdot 1 = 3$.
- Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x) = 3$.
- Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=1$ функция терпит разрыв второго рода. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (слева).

2. Построение графика.
- Для $x \ge 1$ строим график $y = 3x$.
Это луч, выходящий из точки $(1, f(1)) = (1, 3)$. Точка $(1, 3)$ закрашенная.
Для построения возьмем еще одну точку, например, $x=2 \implies y = 3 \cdot 2 = 6$. Точка $(2, 6)$.
- Для $x < 1$ строим график $y = \frac{1}{x-1}$.
Это ветвь гиперболы.
Вертикальная асимптота: $x=1$ (уже нашли).
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x-1} = 0$. Прямая $y=0$ — горизонтальная асимптота.
Пересечение с осью OY: $x=0 \implies y = \frac{1}{0-1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; 1) \cup [1; +\infty)$. В точке $x=1$ функция непрерывна справа, но имеет разрыв второго рода, если рассматривать ее на всей оси.

4) $y = \begin{cases} 2x+3, & \text{если } x \le 3 \\ 1-x^2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.
Функция задана кусочно.
На интервале $(-\infty, 3)$ функция $y=2x+3$ (линейная) непрерывна.
На интервале $(3, +\infty)$ функция $y=1-x^2$ (квадратичная) непрерывна.
Исследуем точку "стыка" $x=3$.
- Значение функции в точке: $y(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$.
- Левосторонний предел: $\lim_{x \to 3^-} y(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x+3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9$.
- Правосторонний предел: $\lim_{x \to 3^+} y(x) = \lim_{x \to 3^+} (1-x^2) = 1 - 3^2 = 1 - 9 = -8$.
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют и конечны, но не равны между собой ($\lim_{x \to 3^-} y(x) \neq \lim_{x \to 3^+} y(x)$), в точке $x=3$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка: $|-8 - 9| = 17$.

2. Построение графика.
- Для $x \le 3$ строим график $y = 2x+3$.
Это луч. Граничная точка: $x=3 \implies y = 9$. Точка $(3, 9)$ закрашенная.
Возьмем еще точку, например, пересечение с осью OY: $x=0 \implies y=3$. Точка $(0, 3)$.
- Для $x > 3$ строим график $y = 1-x^2$.
Это часть параболы с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы $y=-x^2+1$ находится в точке $(0, 1)$.
На границе $x=3$ имеем "выколотую" точку: $y = 1 - 3^2 = -8$. Точка $(3, -8)$ не принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку: $x=4 \implies y = 1 - 4^2 = -15$. Точка $(4, -15)$.
- График функции:

Ответ: Функция непрерывна на множестве $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Точка $x=3$ является точкой разрыва первого рода (скачок).