Номер 6.65, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.65. Для того чтобы функция $y = f(x)$ была непрерывной в точке $x = x_0$, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

$f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0).$

Данное утверждение является определением непрерывности функции в точке через односторонние пределы. Разберем его подробно.

Утверждение гласит: Для того чтобы функция $y = f(x)$ была непрерывной в точке $x = x_0$, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$.

Это означает, что для непрерывности функции в точке $x_0$ должны одновременно выполняться три условия, объединенные в этом равенстве:

1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.

Это соответствует части равенства $... = f(x_0)$. Это означает, что значение $f(x_0)$ существует и является конечным числом. Если функция не определена в точке $x_0$, она не может быть в ней непрерывной.

2. Должен существовать предел функции в точке $x_0$.

Предел функции существует тогда и только тогда, когда существуют и равны друг другу ее односторонние пределы: левосторонний и правосторонний.

• Левосторонний предел: $f(x_0 - 0)$, который также обозначается как $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$. Это значение, к которому стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к $x_0$ слева (т.е. $x < x_0$).
• Правосторонний предел: $f(x_0 + 0)$, который также обозначается как $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$. Это значение, к которому стремится $f(x)$, когда $x$ приближается к $x_0$ справа (т.е. $x > x_0$).

Таким образом, условие существования предела в точке $x_0$ эквивалентно равенству $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$. Если это равенство выполняется, то общий (двусторонний) предел функции существует и равен их общему значению: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$.

3. Предел функции в точке $x_0$ должен быть равен значению функции в этой точке.

Это объединяет первые два условия. После того как мы установили, что $f(x_0)$ существует и $\lim_{x \to x_0} f(x)$ существует, для непрерывности необходимо, чтобы они были равны:

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Развернув предел через односторонние пределы, мы и получаем исходное равенство:

$f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$

Геометрический смысл

Геометрически непрерывность функции в точке означает, что ее график в этой точке не имеет разрывов, "скачков" или "проколов". Когда вы ведете карандашом по графику функции, в точке непрерывности вам не нужно отрывать карандаш от бумаги. Равенство $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$ гарантирует, что ветви графика "сходятся" в одну точку при приближении к $x_0$ слева и справа. А равенство их общего значения $f(x_0)$ гарантирует, что эта точка, в которую они сходятся, и есть реальная точка на графике $(x_0, f(x_0))$, а не "дырка".

Типы разрывов (когда условие не выполняется)

• Устранимый разрыв: Предел существует ($f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$), но он не равен значению функции в этой точке, либо функция в этой точке не определена. Например, $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) \neq f(x_0)$.
• Разрыв первого рода ("скачок"): Односторонние пределы существуют и конечны, но не равны друг другу: $f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0)$.
• Разрыв второго рода: Хотя бы один из односторонних пределов не существует или является бесконечным.

Таким образом, данное утверждение предоставляет полный и строгий критерий для проверки непрерывности функции в конкретной точке.

Ответ: Утверждение представляет собой определение непрерывности функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$. Оно означает, что для непрерывности необходимо и достаточно выполнение трех условий: 1) функция должна быть определена в точке $x_0$ (существует $f(x_0)$); 2) должен существовать предел функции при $x \to x_0$, что эквивалентно равенству левостороннего и правостороннего пределов ($f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0)$); 3) этот предел должен быть равен значению функции в этой точке ($\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$). Все три условия объединены в одном равенстве $f(x_0 - 0) = f(x_0 + 0) = f(x_0)$.