Номер 6.61, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.61. Докажите непрерывность функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$:

1) $f(x) = 5x - 3$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = 2x^2 + x - 3$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$, $x_0 = -1$;

4) $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x$, $x_0 = 4$.

1) $f(x) = 5x - 3, x_0 = 1$

Для доказательства непрерывности функции $y = f(x)$ в точке $x = x_0$ необходимо проверить выполнение трех условий:

1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.
Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.
Функция определена в данной точке.

2. Должен существовать предел функции при $x \to x_0$.
Найдем предел функции при $x \to 1$:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (5x - 3)$.
Так как функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, и предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 1} (5x - 3) = 5 \cdot 1 - 3 = 2$.
Предел существует.

3. Значение предела должно быть равно значению функции в этой точке.
Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 2$ и $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.
Условие $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ выполняется.

Поскольку все три условия выполнены, функция непрерывна в точке $x_0 = 1$.

Ответ: Функция $f(x) = 5x - 3$ непрерывна в точке $x_0 = 1$.

2) $f(x) = 2x^2 + x - 3, x_0 = -2$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = -2$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = 2(-2)^2 + (-2) - 3 = 2 \cdot 4 - 2 - 3 = 8 - 5 = 3$.
Функция определена в точке $x_0 = -2$.

2. Найдем предел функции при $x \to -2$:
$\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} (2x^2 + x - 3)$.
Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она непрерывна на всей числовой прямой. Предел находим прямой подстановкой:
$\lim_{x \to -2} (2x^2 + x - 3) = 2(-2)^2 + (-2) - 3 = 3$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -2$:
$f(-2) = 3$ и $\lim_{x \to -2} f(x) = 3$.
Условие $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2)$ выполняется.

Так как все условия непрерывности выполнены, функция непрерывна в точке $x_0 = -2$.

Ответ: Функция $f(x) = 2x^2 + x - 3$ непрерывна в точке $x_0 = -2$.

3) $f(x) = \frac{x-3}{x+2}, x_0 = -1$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = -1$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.
Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения функции.
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(-1) = \frac{-1-3}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$.
Функция определена в точке $x_0 = -1$.

2. Найдем предел функции при $x \to -1$:
$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x+2}$.
Так как точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения рациональной функции, предел равен значению функции в этой точке:
$\lim_{x \to -1} \frac{x-3}{x+2} = \frac{-1-3}{-1+2} = -4$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = -4$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = -4$.
Условие $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$ выполняется.

Все условия выполнены, следовательно, функция непрерывна в точке $x_0 = -1$.

Ответ: Функция $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$ непрерывна в точке $x_0 = -1$.

4) $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x, x_0 = 4$

Проверим выполнение условий непрерывности для функции $f(x)$ в точке $x_0 = 4$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
Точка $x_0 = 4$ принадлежит области определения функции ($4 \ge 3$).
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(4) = \sqrt{4-3} + 2 \cdot 4 = \sqrt{1} + 8 = 1 + 8 = 9$.
Функция определена в точке $x_0 = 4$.

2. Найдем предел функции при $x \to 4$:
$\lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 2x)$.
Так как точка $x_0 = 4$ является внутренней точкой области определения, предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to 4} (\sqrt{x-3} + 2x) = \sqrt{4-3} + 2 \cdot 4 = 1 + 8 = 9$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = 9$ и $\lim_{x \to 4} f(x) = 9$.
Условие $\lim_{x \to 4} f(x) = f(4)$ выполняется.

Все условия непрерывности выполнены, значит, функция непрерывна в точке $x_0 = 4$.

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{x-3} + 2x$ непрерывна в точке $x_0 = 4$.