Номер 6.57, страница 183 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.57. Последовательность $\{x_n\}$ задана рекуррентной формулой $x_1 = 1$, $x_{n+1} = b x_n + 1$. При каких значениях $b$ эта последовательность сходится?

Для того чтобы последовательность $\{x_n\}$ сходилась, необходимо существование конечного предела $L = \lim_{n \to \infty} x_n$. Если такой предел существует, то он должен удовлетворять уравнению, полученному из рекуррентной формулы путем замены $x_n$ и $x_{n+1}$ на $L$:$L = bL + 1$$L(1-b) = 1$Это уравнение имеет решение для $L$ только если $b \neq 1$. Если $b \neq 1$, то единственный возможный предел — это $L = \frac{1}{1-b}$. Рассмотрим различные случаи для параметра $b$.

Случай 1: $b = 1$.Рекуррентное соотношение принимает вид $x_{n+1} = x_n + 1$. Учитывая, что $x_1 = 1$, получаем арифметическую прогрессию:$x_1 = 1$$x_2 = 1+1 = 2$$x_3 = 2+1 = 3$В общем виде, $x_n = n$. Последовательность $\{n\}$ неограниченно возрастает, то есть расходится ($\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$).

Случай 2: $b \neq 1$.Найдем явную формулу для члена последовательности $x_n$.$x_2 = b x_1 + 1 = b \cdot 1 + 1 = b+1$$x_3 = b x_2 + 1 = b(b+1) + 1 = b^2 + b + 1$$x_4 = b x_3 + 1 = b(b^2+b+1) + 1 = b^3 + b^2 + b + 1$Можно заметить, что $x_n$ является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $a_1=1$ и знаменателем $q=b$:$x_n = 1 + b + b^2 + \dots + b^{n-1}$По формуле суммы конечной геометрической прогрессии:$x_n = \frac{1 \cdot (1-b^n)}{1-b} = \frac{1-b^n}{1-b}$Теперь исследуем сходимость этой последовательности. Сходимость $x_n$ зависит от поведения слагаемого $b^n$ при $n \to \infty$.

Анализ сходимости для $b \neq 1$:

• Если $|b| < 1$, то есть $-1 < b < 1$, то $\lim_{n \to \infty} b^n = 0$. В этом случае последовательность сходится, и ее предел равен:$\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1-b^n}{1-b} = \frac{1-0}{1-b} = \frac{1}{1-b}$.
• Если $b = -1$, то последовательность $x_n$ принимает вид $x_n = \frac{1-(-1)^n}{1-(-1)} = \frac{1-(-1)^n}{2}$.Члены последовательности: $x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 1, x_4 = 0, \dots$. Эта последовательность колеблется между двумя значениями и не имеет предела, то есть расходится.
• Если $|b| > 1$, то $\lim_{n \to \infty} |b^n| = \infty$. Значит, числитель дроби $\frac{1-b^n}{1-b}$ неограниченно растет по модулю, и последовательность $x_n$ расходится.

Собирая все результаты, приходим к выводу, что последовательность сходится только при $|b| < 1$.

Ответ: последовательность сходится при $b \in (-1, 1)$.