Номер 6.64, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.64. Если для функции $y = f(x)$ нарушены условия непрерывности в точке $x = x_0$, то эту точку называют точкой разрыва этой функции. Здесь функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$ (за исключением, быть может, самой точки $x = x_0$). Если $x = x_0$ является точкой разрыва функции $y = f(x)$ и односторонние пределы $f(x_0 - 0)$ и $f(x_0 + 0)$ существуют и принимают конечные значения,

Рис. 6.14

причем $f(x_0 - 0) \neq f(x_0 + 0)$, то точка $x = x_0$ называется точкой разрыва функции I рода. А если хотя бы один из пределов $f(x_0 - 0)$ или $f(x_0 + 0)$ не определен или обращается в бесконечность, то точка $x = x_0$ называется точкой разрыва функции II рода. Для функций, заданных на рис. 6.14, определите тип точек разрыва.

Для определения типа точки разрыва $x=a$ для каждой из функций, необходимо проанализировать поведение функции в окрестности этой точки, а именно — найти односторонние пределы: левосторонний $\lim_{x \to a-0} f(x)$ и правосторонний $\lim_{x \to a+0} f(x)$.

а)
На первом графике (слева) мы видим, что при стремлении аргумента $x$ к точке $a$ слева, функция $f(x)$ стремится к некоторому конечному значению $L_1$. Это левосторонний предел: $\lim_{x \to a-0} f(x) = L_1$. При стремлении $x$ к $a$ справа, функция стремится к другому конечному значению $L_2$. Это правосторонний предел: $\lim_{x \to a+0} f(x) = L_2$. Из графика видно, что $L_1 \neq L_2$. Так как оба односторонних предела существуют, конечны, но не равны друг другу, точка $x=a$ является точкой разрыва I рода. Такой разрыв называют скачком.
Ответ: точка разрыва I рода.

б)
На втором графике показано, что левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=a$ существуют и равны друг другу: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$, где $L$ — конечное число. Однако сама функция в точке $x=a$ не определена, что на графике обозначено "выколотой" точкой. Поскольку оба односторонних предела существуют и конечны, точка $x=a$ является точкой разрыва I рода. Такой разрыв называют устранимым.
Ответ: точка разрыва I рода.

в)
Этот случай похож на предыдущий. Левосторонний и правосторонний пределы в точке $x=a$ существуют, конечны и равны между собой: $\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$. Однако значение функции в самой точке $a$ определено и не равно пределу: $f(a) \neq L$. На графике предел обозначен "выколотой" точкой, а значение функции $f(a)$ — закрашенной точкой. Так как оба односторонних предела конечны, это также точка разрыва I рода (устранимый разрыв).
Ответ: точка разрыва I рода.

г)
На четвертом графике (справа) видно, что при стремлении $x$ к $a$ слева, значение функции неограниченно возрастает, то есть левосторонний предел равен бесконечности: $\lim_{x \to a-0} f(x) = +\infty$. Правосторонний предел существует и конечен: $\lim_{x \to a+0} f(x) = L$ (на графике видно, что он равен значению функции в точке $f(a)$). Согласно определению, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то это точка разрыва II рода.
Ответ: точка разрыва II рода.