Номер 6.66, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.66. Определите тип точек разрыва функции, если таковые имеются, и постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x-1, \text{ если } x \le 1, \\ 1-x^2, \text{ если } x > 1; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x+2, \text{ если } x < 1, \\ \frac{1}{x}, \text{ если } x \ge 1; \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, \text{ если } x < 0, \\ x^2, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x-1, & \text{если } x \le 1 \\ 1-x^2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Она состоит из двух элементарных функций, непрерывных на своих интервалах определения. Единственной точкой, где может быть разрыв, является точка $x=1$.
Для определения типа точки разрыва найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=1$: $f(1) = 1 - 1 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x-1) = 1-1=0$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (1-x^2) = 1 - 1^2 = 0$.
Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x=1$ равны ($f(1-0) = f(1+0) = f(1) = 0$), функция является непрерывной в точке $x=1$.
Следовательно, функция не имеет точек разрыва.
Для построения графика:
1. При $x \le 1$ строим график прямой $y = x-1$. Это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
2. При $x > 1$ строим график параболы $y = 1-x^2$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной в точке $(0, 1)$. Нас интересует ее часть справа от $x=1$. Она проходит через точки $(1, 0)$ (не включая), $(2, -3)$ и т.д.
Так как в точке $(1, 0)$ графики смыкаются, функция непрерывна.
Ответ: Точек разрыва нет. График функции представлен ниже.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x+2, & \text{если } x < 1 \\ \frac{1}{x}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Возможная точка разрыва - $x=1$.
Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=1$: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+2) = 1+2=3$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$.
Так как левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$), в точке $x=1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). Величина скачка равна $|3-1|=2$.
Для построения графика:
1. При $x < 1$ строим график прямой $y = x+2$. График доходит до точки $(1, 3)$, которая будет выколотой.
2. При $x \ge 1$ строим график гиперболы $y = \frac{1}{x}$. График начинается с точки $(1, 1)$ и далее убывает, приближаясь к оси Ох.
Ответ: $x=1$ - точка разрыва первого рода (скачок). График функции представлен ниже.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.
Функция определена на всей числовой оси. Возможная точка разрыва - $x=0$.
Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке.
Значение функции в точке $x=0$: $f(0) = 0^2 = 0$.
Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.
Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0$.
Так как левосторонний предел равен бесконечности, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода (бесконечный разрыв).
Для построения графика:
1. При $x < 0$ строим график гиперболы $y = \frac{1}{x}$ (ветвь в третьей четверти). График асимптотически приближается к оси Оу, уходя в $-\infty$.
2. При $x \ge 0$ строим график параболы $y = x^2$. График начинается в точке $(0, 0)$ и идет вверх.
Ответ: $x=0$ - точка разрыва второго рода. График функции представлен ниже.

4) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x+3}$.
Функция является рациональной. Она не определена в точках, где знаменатель равен нулю.
$x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
Следовательно, $x=-3$ является точкой разрыва. Область определения функции: $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
Чтобы определить тип разрыва, найдем предел функции в этой точке:
$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x+3} = \lim_{x \to -3} \frac{(x-3)(x+3)}{x+3}$.
Так как $x \to -3$, но $x \ne -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:
$\lim_{x \to -3} (x-3) = -3 - 3 = -6$.
Поскольку предел в точке $x=-3$ существует и конечен, но функция в этой точке не определена, то $x=-3$ является точкой устранимого разрыва (разрыв первого рода).
График функции $f(x)$ совпадает с графиком функции $y = x-3$ во всех точках, кроме $x=-3$. В точке $x=-3$ на графике будет "дырка" (выколотая точка). Координаты этой точки: $(-3, -6)$.
Ответ: $x=-3$ - точка устранимого разрыва. График функции представлен ниже.