Вопросы, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как вы понимаете среднюю скорость и мгновенную скорость движения материальной точки? Как определяется мгновенная скорость?

2. Какая прямая называется касательной к графику функции $y = f(x)$? Чему равен угловой коэффициент касательной?

3. Дайте определение производной функции в точке. Как обозначаются производные? Каков геометрический и механический смысл производной?

4. Почему функция $y = |x|$ не имеет производной в точке $x = 0$? Как это связано с касательной к графику функции в данной точке?

5. Что такое дифференциал функции и каков его геометрический смысл?

1. Как вы понимаете среднюю скорость и мгновенную скорость движения материальной точки? Как определяется мгновенная скорость?

Средняя скорость движения материальной точки — это скалярная величина, равная отношению пройденного пути ко всему времени движения. Если положение точки в момент времени $t$ задается функцией $s(t)$, то средняя скорость $v_{ср}$ за промежуток времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ вычисляется как отношение приращения пути $\Delta s$ к приращению времени $\Delta t$:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t}$
Средняя скорость характеризует движение на всем участке, но не дает информации о скорости в каждый конкретный момент времени.

Мгновенная скорость — это скорость материальной точки в данный момент времени или в данной точке траектории. Она является пределом, к которому стремится средняя скорость, когда промежуток времени $\Delta t$ стремится к нулю.

Мгновенная скорость определяется как производная от функции пути по времени. Математически это выражается следующей формулой:
$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t_0 + \Delta t) - s(t_0)}{\Delta t} = s'(t_0)$
Таким образом, мгновенная скорость — это первая производная координаты по времени.

Ответ: Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден ($v_{ср} = \Delta s / \Delta t$). Мгновенная скорость — это скорость в конкретный момент времени, определяемая как предел средней скорости при стремлении промежутка времени к нулю, что соответствует производной пути по времени ($v = s'(t)$).

2. Какая прямая называется касательной к графику функции $y = f(x)$? Чему равен угловой коэффициент касательной?

Касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $M_0(x_0, f(x_0))$ называется предельное положение секущей, проходящей через точки $M_0(x_0, f(x_0))$ и $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, когда точка $M$ стремится к точке $M_0$ вдоль графика, то есть при $\Delta x \to 0$.

Проще говоря, касательная — это прямая, которая "прикасается" к графику функции в одной точке, имея в этой точке тот же наклон, что и сам график.

Угловой коэффициент касательной ($k$) к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ и есть угловой коэффициент.
$k = f'(x_0)$
Также угловой коэффициент равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox): $k = \tan(\alpha)$.

Ответ: Касательная — это предельное положение секущей, проходящей через две близкие точки на графике. Ее угловой коэффициент равен значению производной функции в точке касания: $k = f'(x_0)$.

3. Дайте определение производной функции в точке. Как обозначаются производные? Каков геометрический и механический смысл производной?

Определение производной: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Обозначения производной:

• По Лагранжу: $f'(x)$, $y'$ (читается "эф штрих от икс", "игрек штрих").
• По Лейбницу: $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df(x)}{dx}$ (читается "дэ игрек по дэ икс").
• По Ньютону (в основном в физике для производной по времени): $\dot{s}$ (читается "эс с точкой").
• По Эйлеру: $D_x f$, $D f$.

Геометрический смысл производной: Значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.
$k_{кас} = \tan(\alpha) = f'(x_0)$

Механический (физический) смысл производной: Если функция $s(t)$ описывает закон прямолинейного движения материальной точки (т.е. зависимость пройденного пути от времени), то ее производная по времени $s'(t)$ есть мгновенная скорость движения в момент времени $t$.
$v(t) = s'(t)$

Ответ: Производная — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента ($f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$). Обозначается как $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ и др. Геометрически — это угловой коэффициент касательной к графику функции, механически — мгновенная скорость движения.

4. Почему функция $y = |x|$ не имеет производной в точке $x = 0$? Как это связано с касательной к графику функции в данной точке?

Чтобы определить, существует ли производная функции $y=|x|$ в точке $x=0$, воспользуемся определением производной:
$f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|0 + \Delta x| - |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$

Для существования этого предела необходимо, чтобы односторонние пределы (справа и слева) существовали и были равны.
1. Предел справа (когда $\Delta x$ стремится к 0, оставаясь положительным, $\Delta x \to 0^+$):
В этом случае $|\Delta x| = \Delta x$, поэтому:
$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} 1 = 1$
2. Предел слева (когда $\Delta x$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, $\Delta x \to 0^-$):
В этом случае $|\Delta x| = -\Delta x$, поэтому:
$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} -1 = -1$

Так как предел справа ($1$) не равен пределу слева ($-1$), общий предел не существует. Следовательно, функция $y=|x|$ не имеет производной в точке $x=0$.

Связь с касательной: Геометрический смысл производной — это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке. Поскольку производная в точке $x=0$ не существует, это означает, что в этой точке невозможно провести единственную касательную. График функции $y=|x|$ в точке $(0,0)$ имеет излом (острую вершину).

Слева от нуля наклон графика постоянен и равен $-1$ (касательная $y=-x$), а справа — постоянен и равен $1$ (касательная $y=x$). В самой точке $x=0$ происходит резкое изменение направления, и единой касательной не существует.

Ответ: Производная функции $y=|x|$ в точке $x=0$ не существует, так как односторонние пределы отношения приращений не равны ($-1 \neq 1$). Геометрически это означает, что график функции в этой точке имеет излом, и к нему невозможно провести единственную касательную.

5. Что такое дифференциал функции и каков его геометрический смысл?

Дифференциал функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ — это главная линейная часть приращения функции. Он представляет собой произведение производной функции в этой точке на приращение независимой переменной.
Дифференциал обозначается $dy$ или $df(x_0)$ и вычисляется по формуле:
$dy = f'(x_0) \cdot dx$
Здесь $dx$ — это дифференциал независимой переменной, который по определению равен ее приращению: $dx = \Delta x$.
Для малых $\Delta x$ дифференциал $dy$ является хорошим приближением для полного приращения функции $\Delta y$: $\Delta y \approx dy$.

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции $dy$ в точке $x_0$ равен приращению ординаты (координаты $y$) касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0(x_0, f(x_0))$, когда абсцисса получает приращение $\Delta x = dx$.

На рисунке показано, что $\Delta y$ — это истинное приращение функции (вертикальное расстояние от $M_0$ до $M$), а $dy$ — это приращение на касательной (вертикальное расстояние от горизонтали, проходящей через $M_0$, до точки $T$ на касательной). Разница между $\Delta y$ и $dy$ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$.

Ответ: Дифференциал функции ($dy = f'(x)dx$) — это главная линейная часть приращения функции. Геометрически он представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции, соответствующее приращению аргумента $dx = \Delta x$.