Номер 7.7, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.7. При $t > 2с$ тело движется по закону $s(t) = \frac{3}{t-2}$. Найдите мгновенную скорость тела при: 1) $t = 3с$; 2) $t = 4,5с$.

В упражнениях 7.8–7.13 найдите производные указанных функций по определению и найдите указанные значения производной.

Мгновенная скорость тела $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. По условию задачи, закон движения тела задан функцией $s(t) = \frac{3}{t-2}$ при $t > 2$с.

Чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{3}{t-2}\right)'$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или, что удобнее в данном случае, представим функцию в виде степенной $s(t) = 3(t-2)^{-1}$ и воспользуемся формулой $(ax^n)' = anx^{n-1}$ и правилом дифференцирования сложной функции.

$v(t) = s'(t) = (3(t-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (t-2)^{-1-1} \cdot (t-2)' = -3(t-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(t-2)^2}$.

Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид: $v(t) = -\frac{3}{(t-2)^2}$.

Теперь вычислим значения скорости в заданные моменты времени.

1) t = 3с

Подставим значение $t=3$ в полученную формулу для скорости:

$v(3) = -\frac{3}{(3-2)^2} = -\frac{3}{1^2} = -\frac{3}{1} = -3$.

Если расстояние измеряется в метрах, то скорость будет равна -3 м/с. Отрицательный знак означает, что тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси.

Ответ: $-3$ м/с.

2) t = 4,5с

Подставим значение $t=4,5$ в формулу для скорости:

$v(4,5) = -\frac{3}{(4,5-2)^2} = -\frac{3}{(2,5)^2} = -\frac{3}{6,25}$.

Для удобства вычислений преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 100:

$v(4,5) = -\frac{3 \cdot 100}{6,25 \cdot 100} = -\frac{300}{625}$.

Сократим полученную дробь на 25:

$v(4,5) = -\frac{300 \div 25}{625 \div 25} = -\frac{12}{25}$.

Переведем результат в десятичную дробь:

$-\frac{12}{25} = -0,48$.

Ответ: $-0,48$ м/с.