Страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.4. Найдите угловой коэффициент секущей, проведенной к графику функции $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2$ в точках $x = x_1$ и $x = x_2$:

1) $x_1 = -1, x_2 = 3;$

2) $x_1 = 0, x_2 = 3;$

3) $x_1 = -2, x_2 = 0;$

4) $x_1 = 1, x_2 = 2.$

Угловой коэффициент $k$ секущей, проведенной к графику функции $f(x)$ через точки с абсциссами $x_1$ и $x_2$, находится по формуле среднего значения скорости изменения функции на отрезке $[x_1, x_2]$:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Дана функция $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 2$. Вычислим угловые коэффициенты для каждого случая.

1) $x_1 = -1, x_2 = 3$

Сначала найдем значения функции в заданных точках:
$f(x_1) = f(-1) = \frac{1}{2}(-1)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 = 0.5 + 2 = 2.5$
$f(x_2) = f(3) = \frac{1}{2}(3)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 + 2 = 4.5 + 2 = 6.5$
Теперь подставим найденные значения в формулу для углового коэффициента:
$k = \frac{f(3) - f(-1)}{3 - (-1)} = \frac{6.5 - 2.5}{3 + 1} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: 1

2) $x_1 = 0, x_2 = 3$

Найдем значения функции в заданных точках:
$f(x_1) = f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$
$f(x_2) = f(3) = \frac{1}{2}(3)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 9 + 2 = 4.5 + 2 = 6.5$
Вычислим угловой коэффициент:
$k = \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{6.5 - 2}{3} = \frac{4.5}{3} = 1.5$
Ответ: 1.5

3) $x_1 = -2, x_2 = 0$

Найдем значения функции в заданных точках:
$f(x_1) = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$
$f(x_2) = f(0) = \frac{1}{2}(0)^2 + 2 = 0 + 2 = 2$
Вычислим угловой коэффициент:
$k = \frac{f(0) - f(-2)}{0 - (-2)} = \frac{2 - 4}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1

4) $x_1 = 1, x_2 = 2$

Найдем значения функции в заданных точках:
$f(x_1) = f(1) = \frac{1}{2}(1)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 = 0.5 + 2 = 2.5$
$f(x_2) = f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$
Вычислим угловой коэффициент:
$k = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{4 - 2.5}{1} = 1.5$
Ответ: 1.5

7.5. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t) = 2t^2 + 3t + 5$ (s измеряется в метрах, а t – в секундах). Найдите мгновенную скорость точки в момент времени:

1) $t = 0$;

2) $t = 2$;

3) $t = t_0$.

Мгновенная скорость материальной точки — это первая производная от функции, описывающей ее положение (путь), по времени. В данной задаче закон движения задан функцией $s(t) = 2t^2 + 3t + 5$.

Чтобы найти функцию мгновенной скорости $v(t)$, необходимо найти производную $s'(t)$.

Используем правила дифференцирования:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 3t + 5)'$

Применяем правило дифференцирования суммы:

$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

$v(t) = (2t^2)' + (3t)' + (5)'$

Теперь применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило для константы $(C)' = 0$:

$(2t^2)' = 2 \cdot 2t^{2-1} = 4t$

$(3t)' = 3 \cdot 1t^{1-1} = 3 \cdot 1 = 3$

$(5)' = 0$

Складываем полученные результаты:

$v(t) = 4t + 3$

Таким образом, закон изменения мгновенной скорости со временем имеет вид $v(t) = 4t + 3$. Скорость $v$ измеряется в метрах в секунду (м/с).

Теперь вычислим мгновенную скорость в заданные моменты времени.

1) t = 0

Подставляем $t = 0$ в уравнение для скорости $v(t)$:

$v(0) = 4 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$ (м/с).

Ответ: 3 м/с.

2) t = 2

Подставляем $t = 2$ в уравнение для скорости $v(t)$:

$v(2) = 4 \cdot 2 + 3 = 8 + 3 = 11$ (м/с).

Ответ: 11 м/с.

3) t = t₀

Подставляем $t = t_0$ в уравнение для скорости $v(t)$:

$v(t_0) = 4t_0 + 3$ (м/с).

Ответ: $4t_0 + 3$ м/с.

7.6. Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t = t_0$, которая движется по закону:

1) $s(t) = 2t + 3;$

2) $s(t) = 5 - \frac{t}{2};$

3) $s(t) = 5t^2 - 4t + 9.$

Мгновенная скорость материальной точки $v(t)$ является производной от функции, описывающей ее положение $s(t)$, по времени $t$. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, необходимо вычислить производную $s'(t)$. Мгновенная скорость в момент времени $t = t_0$ будет равна значению этой производной в точке $t_0$, то есть $v(t_0) = s'(t_0)$.

1) Дан закон движения $s(t) = 2t + 3$.
Найдем производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (2t + 3)' = (2t)' + (3)' = 2 \cdot 1 + 0 = 2$.
Скорость в данном случае является постоянной величиной, не зависящей от времени. Следовательно, в момент времени $t_0$ скорость будет равна 2.
Ответ: 2.

2) Дан закон движения $s(t) = 5 - \frac{t}{2}$.
Найдем производную этой функции по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = (5 - \frac{1}{2}t)' = (5)' - (\frac{1}{2}t)' = 0 - \frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$.
Скорость также является постоянной величиной. В любой момент времени $t_0$ скорость будет равна $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

3) Дан закон движения $s(t) = 5t^2 - 4t + 9$.
Найдем производную этой функции по времени $t$, используя правила дифференцирования, в том числе правило для степенной функции $(t^n)'=n \cdot t^{n-1}$:
$v(t) = s'(t) = (5t^2 - 4t + 9)' = (5t^2)' - (4t)' + (9)' = 5 \cdot 2t^{2-1} - 4 \cdot 1 + 0 = 10t - 4$.
Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0$, подставим $t_0$ в полученное выражение для скорости:
$v(t_0) = 10t_0 - 4$.
Ответ: $10t_0 - 4$.

7.7. При $t > 2с$ тело движется по закону $s(t) = \frac{3}{t-2}$. Найдите мгновенную скорость тела при: 1) $t = 3с$; 2) $t = 4,5с$.

В упражнениях 7.8–7.13 найдите производные указанных функций по определению и найдите указанные значения производной.

Мгновенная скорость тела $v(t)$ является производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. По условию задачи, закон движения тела задан функцией $s(t) = \frac{3}{t-2}$ при $t > 2$с.

Чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$ по времени $t$.

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{3}{t-2}\right)'$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ или, что удобнее в данном случае, представим функцию в виде степенной $s(t) = 3(t-2)^{-1}$ и воспользуемся формулой $(ax^n)' = anx^{n-1}$ и правилом дифференцирования сложной функции.

$v(t) = s'(t) = (3(t-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (t-2)^{-1-1} \cdot (t-2)' = -3(t-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(t-2)^2}$.

Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид: $v(t) = -\frac{3}{(t-2)^2}$.

Теперь вычислим значения скорости в заданные моменты времени.

1) t = 3с

Подставим значение $t=3$ в полученную формулу для скорости:

$v(3) = -\frac{3}{(3-2)^2} = -\frac{3}{1^2} = -\frac{3}{1} = -3$.

Если расстояние измеряется в метрах, то скорость будет равна -3 м/с. Отрицательный знак означает, что тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси.

Ответ: $-3$ м/с.

2) t = 4,5с

Подставим значение $t=4,5$ в формулу для скорости:

$v(4,5) = -\frac{3}{(4,5-2)^2} = -\frac{3}{(2,5)^2} = -\frac{3}{6,25}$.

Для удобства вычислений преобразуем дробь, умножив числитель и знаменатель на 100:

$v(4,5) = -\frac{3 \cdot 100}{6,25 \cdot 100} = -\frac{300}{625}$.

Сократим полученную дробь на 25:

$v(4,5) = -\frac{300 \div 25}{625 \div 25} = -\frac{12}{25}$.

Переведем результат в десятичную дробь:

$-\frac{12}{25} = -0,48$.

Ответ: $-0,48$ м/с.

7.8. $y(x) = 3x + 4$:

1) $y'(x)$;

2) $y'(2)$;

3) $y'(-2)$.

1) y'(x);

Дана функция $y(x) = 3x + 4$.

Для нахождения производной $y'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и основными правилами нахождения производных.

Правило дифференцирования суммы гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных: $(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$.

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

$y'(x) = (3x + 4)' = (3x)' + (4)'$.

Теперь найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Для слагаемого $3x$ используем правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и тот факт, что производная от $x$ равна 1, то есть $(x)' = 1$:

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.

Для слагаемого $4$ используем правило, что производная константы равна нулю, то есть $(c)' = 0$:

$(4)' = 0$.

Теперь сложим полученные результаты:

$y'(x) = 3 + 0 = 3$.

Таким образом, производная функции $y(x) = 3x + 4$ является константой, равной 3.

Ответ: $y'(x) = 3$.

2) y'(2);

Чтобы найти значение производной в точке $x=2$, необходимо подставить число $2$ вместо $x$ в найденное выражение для производной $y'(x)$.

В предыдущем пункте мы установили, что $y'(x) = 3$.

Поскольку выражение для производной не содержит переменной $x$ (является константой), ее значение будет одинаковым для любого значения $x$.

Следовательно, при $x=2$ значение производной равно 3.

Ответ: $y'(2) = 3$.

3) y'(-2).

Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти значение производной в точке $x=-2$, мы подставляем это значение в выражение для $y'(x)$.

Так как $y'(x) = 3$, значение производной не зависит от переменной $x$.

Таким образом, при $x=-2$ значение производной также будет равно 3.

Ответ: $y'(-2) = 3$.

7.9. $f(x) = ax + b$:

1) $f'(2)$;

2) $f'(4)$.

Для того чтобы найти значения производной функции $f(x) = ax + b$ в заданных точках, сначала необходимо найти саму производную $f'(x)$.

Воспользуемся правилами дифференцирования. Производная суммы функций равна сумме их производных:

$f'(x) = (ax + b)' = (ax)' + (b)'$

Производная от слагаемого $ax$, где $a$ — постоянный коэффициент, равна $a$. Производная от константы $b$ равна нулю. Таким образом, получаем:

$f'(x) = a + 0 = a$

Мы видим, что производная данной функции является константой, равной $a$. Это означает, что ее значение одинаково для любого значения $x$.

1) f'(2);

Чтобы найти $f'(2)$, нужно найти значение производной $f'(x)$ при $x=2$. Так как $f'(x) = a$ для любого $x$, то:

$f'(2) = a$

Ответ: $a$

2) f'(4).

Аналогично, чтобы найти $f'(4)$, нужно найти значение производной $f'(x)$ при $x=4$. Так как $f'(x) = a$ для любого $x$, то:

$f'(4) = a$

Ответ: $a$

7.10. $f(x) = \frac{1}{x}$;

1) $f'(x)$;

2) $f'(1)$;

3) $f'(-3)$.

1) f'(x);
Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$.
Для того чтобы найти производную, представим функцию в виде степенной функции: $f(x) = x^{-1}$.
Теперь применим правило дифференцирования для степенной функции, которое гласит, что $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае, показатель степени $n = -1$.
$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2}$.
Запишем полученный результат в виде дроби:
$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

2) f'(1);
Для нахождения значения производной в точке $x=1$, необходимо подставить это значение в выражение для производной, которое мы нашли в предыдущем пункте: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: $f'(1) = -1$.

3) f'(-3).
Аналогично, для нахождения значения производной в точке $x=-3$, подставим это значение в выражение для производной $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
$f'(-3) = -\frac{1}{(-3)^2} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $f'(-3) = -\frac{1}{9}$.

7.11. $g(x) = x^2 + 3x + 1$:

1) $g'(x)$;

2) $g(2)$.

1) g'(x)

Для нахождения производной функции $g(x) = x^2 + 3x + 1$ воспользуемся правилами дифференцирования. Производная суммы равна сумме производных.

$g'(x) = (x^2 + 3x + 1)' = (x^2)' + (3x)' + (1)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

1. Производная степенной функции $x^2$ по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$

2. Производная слагаемого $3x$:

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$

3. Производная константы (числа 1) равна нулю:

$(1)' = 0$

Теперь сложим полученные производные:

$g'(x) = 2x + 3 + 0 = 2x + 3$

Ответ: $g'(x) = 2x + 3$.

2) g(2)

Чтобы найти значение функции $g(x)$ в точке $x=2$, необходимо подставить $2$ вместо $x$ в исходное выражение функции $g(x) = x^2 + 3x + 1$.

$g(2) = (2)^2 + 3 \cdot (2) + 1$

Произведем вычисления:

$g(2) = 4 + 6 + 1$

$g(2) = 11$

Ответ: $g(2) = 11$.

7.12. $u(x) = \sqrt{x}$:

1) $u(x)$;

2) $u'(4)$.

1) u'(x); Дана функция $u(x) = \sqrt{x}$. Для нахождения ее производной $u'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции. Сначала представим корень как степень:
$u(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
Теперь применим формулу производной для степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. В нашем случае $n = \frac{1}{2}$.
$u'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
Преобразуем выражение, чтобы избавиться от отрицательной степени, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$u'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ответ: $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2) u'(4), Чтобы найти значение производной в точке $x=4$, необходимо подставить это значение в найденную формулу для производной $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$u'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}}$
Вычисляем значение квадратного корня из 4:
$\sqrt{4} = 2$
Подставляем это значение в выражение:
$u'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

7.13. $v(x) = \frac{3}{x-1}$:

1) $v'(x)$;

2) $v'(2)$.

1) v'(x);

Чтобы найти производную функции $v(x) = \frac{3}{x-1}$, мы можем использовать правило дифференцирования частного, которое гласит: $(\frac{u}{w})' = \frac{u'w - uw'}{w^2}$. В нашем случае, функция в числителе $u(x) = 3$, а функция в знаменателе $w(x) = x-1$.

Найдем производные этих функций:
Производная константы $u'(x) = (3)' = 0$.
Производная $w'(x) = (x-1)' = (x)' - (1)' = 1 - 0 = 1$.

Теперь подставим эти значения в формулу для производной частного:
$v'(x) = \frac{u'(x) \cdot w(x) - u(x) \cdot w'(x)}{[w(x)]^2} = \frac{0 \cdot (x-1) - 3 \cdot 1}{(x-1)^2}$.

Упростив выражение, получим:
$v'(x) = \frac{0 - 3}{(x-1)^2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

Ответ: $v'(x) = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

2) v'(2).

Чтобы найти значение производной функции в точке $x=2$, необходимо подставить это значение в полученное выражение для $v'(x)$.

Мы имеем $v'(x) = -\frac{3}{(x-1)^2}$.
Подставляем $x=2$:
$v'(2) = -\frac{3}{(2-1)^2}$.

Выполним вычисления:
$v'(2) = -\frac{3}{1^2} = -\frac{3}{1} = -3$.

Ответ: $v'(2) = -3$.

7.14. Найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = x^3$;

2) $f(x) = ax^2 + bx + c$;

3) $f(x) = x^3 + 2x.

1) Для функции $f(x) = x^3$ найдем ее производную $f'(x)$. Используем основное правило дифференцирования для степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В нашем случае, показатель степени $n=3$. Применяя правило, получаем:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2$.

2) Для функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ найдем ее производную $f'(x)$. Здесь $a, b, c$ являются константами. Мы будем использовать следующие правила дифференцирования:

1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.

2. Константу можно выносить за знак производной: $(k \cdot u)' = k \cdot u'$.

3. Производная степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

4. Производная константы равна нулю: $(c)' = 0$.

Применяя эти правила, дифференцируем функцию по частям:

$f'(x) = (ax^2 + bx + c)' = (ax^2)' + (bx)' + (c)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

$(ax^2)' = a \cdot (x^2)' = a \cdot 2x^{2-1} = 2ax$.

$(bx)' = b \cdot (x)' = b \cdot 1 = b$.

$(c)' = 0$.

Теперь сложим результаты:

$f'(x) = 2ax + b + 0 = 2ax + b$.

Ответ: $f'(x) = 2ax + b$.

3) Для функции $f(x) = x^3 + 2x$ найдем ее производную $f'(x)$. Используем те же правила, что и в предыдущем пункте.

Производная суммы равна сумме производных:

$f'(x) = (x^3 + 2x)' = (x^3)' + (2x)'$.

Найдем производную каждого слагаемого:

Для первого слагаемого используем правило степенной функции: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Для второго слагаемого выносим константу за знак производной: $(2x)' = 2 \cdot (x)' = 2 \cdot 1 = 2$.

Складываем полученные выражения:

$f'(x) = 3x^2 + 2$.

Ответ: $f'(x) = 3x^2 + 2$.

7.15. Найдите мгновенную скорость движения тела по закону $s(t)$ в момент времени $t_0$:

1) $s(t) = 2t^3 - 3t^2$;

2) $s(t) = t^3 + 2t^2 + 3.

Мгновенная скорость движения тела, $v(t)$, является производной от функции пути, $s(t)$, по времени $t$. Это физический смысл производной. Таким образом, чтобы найти мгновенную скорость, необходимо найти производную функции $s(t)$.

$v(t) = s'(t)$

Мгновенная скорость в момент времени $t_0$ будет равна значению производной в этой точке:

$v(t_0) = s'(t_0)$

Для нахождения производной будем использовать формулу производной степенной функции: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

1) Дан закон движения: $s(t) = 2t^3 - 3t^2$.

Найдем производную этой функции, которая и будет являться функцией мгновенной скорости $v(t)$:

$v(t) = s'(t) = (2t^3 - 3t^2)' = (2t^3)' - (3t^2)' = 2 \cdot 3t^{3-1} - 3 \cdot 2t^{2-1} = 6t^2 - 6t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0$, подставим $t_0$ в полученное выражение для скорости:

$v(t_0) = 6t_0^2 - 6t_0$.

Ответ: $v(t_0) = 6t_0^2 - 6t_0$.

2) Дан закон движения: $s(t) = t^3 + 2t^2 + 3$.

Найдем производную этой функции, чтобы получить функцию мгновенной скорости $v(t)$:

$v(t) = s'(t) = (t^3 + 2t^2 + 3)' = (t^3)' + (2t^2)' + (3)' = 3t^{3-1} + 2 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 3t^2 + 4t$.

Чтобы найти мгновенную скорость в момент времени $t_0$, подставим $t_0$ в полученное выражение для скорости:

$v(t_0) = 3t_0^2 + 4t_0$.

Ответ: $v(t_0) = 3t_0^2 + 4t_0$.

7.16. Покажите, что функция не имеет производной в указанной точке: $g(x)=|x-1|$ в точке $x=1$.

7.16. Чтобы показать, что функция $g(x) = |x - 1|$ не имеет производной в точке $x = 1$, мы воспользуемся определением производной. Производная функции $g(x)$ в точке $x_0$ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
$g'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}$
Для того чтобы производная в точке существовала, необходимо, чтобы существовал этот предел. Это, в свою очередь, означает, что левосторонний и правосторонний пределы должны существовать и быть равны друг другу.

В нашем случае точка, в которой мы ищем производную, это $x_0 = 1$.
Значение функции в этой точке: $g(1) = |1 - 1| = 0$.
Значение функции в точке $1+h$: $g(1+h) = |(1+h) - 1| = |h|$.

Подставим эти значения в формулу для производной:
$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{g(1 + h) - g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

Теперь вычислим односторонние пределы, чтобы проверить, существует ли общий предел.

Правосторонний предел (производная справа)
Рассмотрим случай, когда $h$ стремится к нулю с положительной стороны, то есть $h \to 0^+$. В этом случае $h$ — малое положительное число, и по определению модуля $|h| = h$.
$g'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (производная слева)
Рассмотрим случай, когда $h$ стремится к нулю с отрицательной стороны, то есть $h \to 0^-$. В этом случае $h$ — малое отрицательное число, и по определению модуля $|h| = -h$.
$g'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -1 = -1$.

Так как правосторонний предел ($1$) не равен левостороннему пределу ($-1$), то общий предел $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ не существует. Следовательно, функция $g(x)=|x-1|$ не имеет производной в точке $x=1$.

Геометрически это означает, что график функции $g(x)=|x-1|$ в точке $(1, 0)$ имеет излом. Касательная к графику слева от этой точки имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k = -1$, а справа — $k = 1$. В самой точке излома невозможно провести единственную касательную, что и означает отсутствие производной.

Ответ: Производная функции $g(x) = |x - 1|$ в точке $x = 1$ не существует, так как односторонние производные (пределы) не равны: производная слева $g'_-(1)=-1$, а производная справа $g'_+(1)=1$.

7.17. Напишите уравнение касательной к графику функции $g(x) = x^2$ в точке:

1) $x = 1$;

2) $x = -1$;

3) $x = 2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
В данной задаче нам дана функция $g(x) = x^2$.
Сначала найдем ее производную, которая определяет угловой коэффициент касательной в любой точке:
$g'(x) = (x^2)' = 2x$.
Теперь найдем уравнения касательных для каждой из указанных точек.

1) x = 1
Найдем уравнение касательной в точке $x_0 = 1$.
1. Вычислим значение функции в точке касания:
$g(x_0) = g(1) = 1^2 = 1$.
2. Вычислим значение производной в этой точке (угловой коэффициент касательной):
$g'(x_0) = g'(1) = 2 \cdot 1 = 2$.
3. Подставим найденные значения $x_0 = 1$, $g(x_0) = 1$ и $g'(x_0) = 2$ в общее уравнение касательной:
$y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$
$y = 1 + 2(x - 1)$
$y = 1 + 2x - 2$
$y = 2x - 1$
Ответ: $y = 2x - 1$

2) x = -1
Найдем уравнение касательной в точке $x_0 = -1$.
1. Вычислим значение функции в точке касания:
$g(x_0) = g(-1) = (-1)^2 = 1$.
2. Вычислим значение производной в этой точке:
$g'(x_0) = g'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$.
3. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $g(x_0) = 1$ и $g'(x_0) = -2$ в общее уравнение касательной:
$y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$
$y = 1 + (-2)(x - (-1))$
$y = 1 - 2(x + 1)$
$y = 1 - 2x - 2$
$y = -2x - 1$
Ответ: $y = -2x - 1$

3) x = 2
Найдем уравнение касательной в точке $x_0 = 2$.
1. Вычислим значение функции в точке касания:
$g(x_0) = g(2) = 2^2 = 4$.
2. Вычислим значение производной в этой точке:
$g'(x_0) = g'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.
3. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $g(x_0) = 4$ и $g'(x_0) = 4$ в общее уравнение касательной:
$y = g(x_0) + g'(x_0)(x - x_0)$
$y = 4 + 4(x - 2)$
$y = 4 + 4x - 8$
$y = 4x - 4$
Ответ: $y = 4x - 4$