Номер 7.16, страница 202 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.16. Покажите, что функция не имеет производной в указанной точке: $g(x)=|x-1|$ в точке $x=1$.

7.16. Чтобы показать, что функция $g(x) = |x - 1|$ не имеет производной в точке $x = 1$, мы воспользуемся определением производной. Производная функции $g(x)$ в точке $x_0$ определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента:
$g'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}$
Для того чтобы производная в точке существовала, необходимо, чтобы существовал этот предел. Это, в свою очередь, означает, что левосторонний и правосторонний пределы должны существовать и быть равны друг другу.

В нашем случае точка, в которой мы ищем производную, это $x_0 = 1$.
Значение функции в этой точке: $g(1) = |1 - 1| = 0$.
Значение функции в точке $1+h$: $g(1+h) = |(1+h) - 1| = |h|$.

Подставим эти значения в формулу для производной:
$g'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{g(1 + h) - g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

Теперь вычислим односторонние пределы, чтобы проверить, существует ли общий предел.

Правосторонний предел (производная справа)
Рассмотрим случай, когда $h$ стремится к нулю с положительной стороны, то есть $h \to 0^+$. В этом случае $h$ — малое положительное число, и по определению модуля $|h| = h$.
$g'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$.

Левосторонний предел (производная слева)
Рассмотрим случай, когда $h$ стремится к нулю с отрицательной стороны, то есть $h \to 0^-$. В этом случае $h$ — малое отрицательное число, и по определению модуля $|h| = -h$.
$g'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} -1 = -1$.

Так как правосторонний предел ($1$) не равен левостороннему пределу ($-1$), то общий предел $\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ не существует. Следовательно, функция $g(x)=|x-1|$ не имеет производной в точке $x=1$.

Геометрически это означает, что график функции $g(x)=|x-1|$ в точке $(1, 0)$ имеет излом. Касательная к графику слева от этой точки имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) $k = -1$, а справа — $k = 1$. В самой точке излома невозможно провести единственную касательную, что и означает отсутствие производной.

Ответ: Производная функции $g(x) = |x - 1|$ в точке $x = 1$ не существует, так как односторонние производные (пределы) не равны: производная слева $g'_-(1)=-1$, а производная справа $g'_+(1)=1$.